第一部分 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第2讲　分类讨论思想、转化与化归思想 分类讨论思想 转化与化归思想 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度. 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 　　　由数学概念引起的分类讨论 此类问题多以选择题或解答题的形式考查，主要涉及绝对值、不等式、直线、对数函数、指数函数、数列等内容． [例1]　已知实数a≠0，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． [思路导引]　本题关键是要确定1－a,1＋a与1的大小关系，从而确定利用哪个关系式进行代入求解．关于分类标准，本题简单地可以看成，由已知a≠0，想到分a>0及a<0讨论，经验证可以，于是有如下解法． [答案]　－ [规律方法]　由概念引起的分类讨论有很多，常见的类型有：①绝对值：根据|a|的定义分a＞0，a＝0，a＜0三种情况讨论；②直线的斜率存在与不存在的讨论；③对数、指数函数的底数有a＞1或0＜a＜1的讨论． 　　　由参数的变化引起的分类讨论 [例2]　(2021·昆明三模)已知函数f(x)＝mx3＋n，曲线y＝f(x)在点处的切线方程为3x－3y＋1＝0. (1)求实数m、n的值； (2)令g(x)＝f(x)＋ax2－3a2x，函数g(x)的极大值与极小值之差等于，求实数a的值． [思路导引]　(1)本题首先可根据函数解析式得出 f′(x)＝3mx2，然后根据在点处的切线方程得出，最后通过计算即可求出m、n的值；(2)本题首先根据f(x)＝x3＋1得出g′(x)＝(x＋3a)(x－a)，然后分为a＝0、a＞0、a＜0三种情况，依次求出每种情况下的极大值与极小值，最后根据极大值与极小值之差等于即可得出结果． [解析]　(1)因为f(x)＝mx3＋n，所以f′(x)＝3mx2， 因为曲线y＝f(x)在点处的切线方程为3x－3y＋1＝0， 所以，即，解得m＝，n＝1，f(x)＝x3＋1. (2)因为f(x)＝x3＋1，所以g(x)＝x3＋ax2－3a2x＋1， g′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)， 当a＝0时，g′(x)≥0，函数g(x)无极值，不满足题意，a≠0； 当a＞0时，函数g(x)在(－∞，－3a)、(a，＋∞)上单调递增，在(－3a，a)上单调递减， 则函数g(x)的极大值为g(－3a)＝9a3＋1，极小值为 g(a)＝－a3＋1， 因为函数g(x)的极大值与极小值之差等于， 所以9a3＋1－＝，解得a＝； 当a＜0时，函数g(x)在(－∞，a)、(－3a，＋∞)上单调递增，在(a，－3a)上单调递减， 则函数g(x)的极大值为g(a)＝－a3＋1，极小值为g(－3a)＝9a3＋1， 因为函数g(x)的极大值与极小值之差等于， 所以－a3＋1－(9a3＋1)＝，解得a＝－， 综上所述，实数a的值为±. [规律方法]　求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论．讨论时，应全面分析参数变化引起结论得变化情况，参数的几何意义有时还要考虑运用数形结合思想． 　　　由图形的变化引起的分类讨论 此类问题多以主要涉及函数、解析几何、立体几何等内容，难度适中． [例3]　(2021·临汾一模)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面α⊥B1D，则以平面α截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以B1为顶点的锥体的外接球的表面积为(　　) A．12π　　B.　　　C.　　　D．6π [思路导引]　由正方体的对称性，可知当截面为正六边形EFGHKI时，截面面积最大，再分当球心在棱锥内部时和当球心在棱锥外部时，建立方程求得外接球的半径可得选项． [解析]　B　[如图， 由正方体的对称性，可知当截面为正六边形EFGHKI时，截面面积最大， 此时正六边形的边长为， 设B1D交截面EFGHKI于M，则M为B1D的中点，所以B1M＝B1D＝， 设正六棱锥外接球的球心为O，外接球半径为R， 当球心在棱锥内部时，有R2＝()2＋(－R)2，解得R＝， 外接球面积为4π×2＝； 若球心在棱锥外部时，有R2＝()2＋(R－)2，解得R＝＜(舍去)． ∴以B1为顶点的锥体的外接球的表面积为. 故选：B.] [规律方法]　求解几何体外接球半径的思路是依据球的截面的性质：利用球的半