第一部分 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等． 第1讲　函数与方程思想、数形结合思想 函数与方程思想 数形结合思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决． 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决. 数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合包括以下两种途径： (1)通过坐标系“形题数解” (2)通过转化构造“数题形解” 　　　运用函数相关概念的本质解题 在理解函数，函数的定义域、值域、性质等的本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题，常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值问题，研究函数的性质． [例1]　若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)是R上的减函数，则实数a的取值范围为(　　 ) A．(0,1)　　　　　　　　　　 B. C. D. [思路导引]　→→. [规律方法]　解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视． 　　　运用函数的性质解题 能意识到题目考查函数的什么性质或相关问题应该用函数的什么性质来解答，考查热点有函数的单调性、奇偶性及函数图象的对称性等，常见问题是函数性质的应用． [例2]　(2021·南充三模)已知f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数，若f(－1)＞－6，f(2021)＝，则实数a的取值范围是(　　) A. B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D. [思路分析]　先利用函数的周期性和奇偶性可得 f(2021)＝f(5×404＋1)＝f(1)＝f(－1)＝，从而将f(－1)＞－6转化为＞－6，进而可求出a的取值范围 [解析]C　[因为f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数， 所以f(2021)＝f(5×404＋1)＝f(1)＝f(－1)， 因为f(2021)＝，f(－1)＞－6， 所以＞－6，整理得＞0， 解得a＜或a＞2， 所以实数a的取值范围是∪(2，＋∞)， 故选：C.] [规律方法]　利用函数的单调性、奇偶性、对称性，在求解的过程中，需要利用函数的性质，从而得到要出现函数值的大小，从而求得结果． 　　　构造函数解决问题 根据题设条件，构造相关函数，运用这个函数的性质解答问题，常见问题有：比较大小、解不等式等． [例3]　(2021·滨州二模)已知a＝，b＝(e＝2.718…为自然对数的底数)，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a [思路分析]　根据题意，构造函数f(x)＝，利用函数f(x)＝单调性比较大小即可． [解析]　C　[令f(x)＝，所以f′(x)＝ 所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)＝单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)＝单调递减， 因为a＝＝＝＝f(4)，b＝＝＝f(e)，c＝＝＝f(9)， 所以f(e)＞f(4)＞f(9)，即b＞a＞c. 故选：C.] [规律方法]　解答本类问题时，关键是构造函数，有时通过条件构造，有时通过选项构造，然后运用函数的性质解题． 　　　运用方程或方程组解决问题 根据题设条件列出方程(组)，求出参数或变量的值，常见问题有：求函数解析式、数列的计算、解析几何的计算等． [例4]　(2021·5吕梁三模)已知α∈，sin α＋2cos α＝1，则tan 2α＝(　　) A．－　　 B．－　　　C.　　　D. [思路导引]　两边平方，齐次化，先算出tan α，再利用正切二倍角公式即可． [解析]　A　[两边平方得，(sin α＋2·cos α)2＝1， 即sin2 α＋4·sin α·cos α＋4·cos2 α＝1 所以1＋4·sin α·cos