第二部分 专题一 满分阅卷案例(一) 导数类考题-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

满分阅卷案例(一)　导数类考题 类题策略 思维流程 　　函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论、不等式的证明等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，最后根据题意处理. [高考真题] (2021·全国乙卷)己知函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； (2)设函数g(x)＝.证明：g(x)＜1. [规范解答]　(1)由题意，f(x)的定义域为(－∞，a)， 令m(x)＝xf(x)，则m(x)＝xln(a－x)，x∈(－∞，a)，1分 则m′(x)＝ln(a－x)＋x·＝ln(a－x)＋，2分 因为x＝0是函数y＝xf(x)的极值点， 则有m′(x)＝0，即ln a＝0， 所以a＝1，3分 当a＝1时①，m′(x)＝ln(1－x)＋＝ln(1－x)＋＋1，且m′(0)＝0， 因为m″(x)＝＋＝＜0， 则m′(x)在(－∞，2)上单调递减， 所以当x∈(－∞，0)时，m′(x)＞0， 当x∈(0,1)时，g′(x)＜0， 所以a＝1时，x＝0时函数y＝xf(x)的一个极大值． 综上所述，a＝1；4分 (2)证明：由(1)可知，xf(x)＝xln(1－x)， 要证＜1，即需证明＜1②，5分 因为当x∈(－∞，0)时，xln(1－x)＜0， 当x∈(0,1)时，xln(1－x)＜0， 所以需证明x＋ln(1－x)＞xln(1－x)③，6分 即x＋(1－x)ln(1－x)＞0， 令h(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)④，7分 则h′(x)＝(1－x)·＋1－ln(1－x)＝－ln(1－x)，8分 所以h′(0)＝0，当x∈(－∞，0)时，h′(x)＜0， 当x∈(0,1)时，h′(x)＞0， 所以x＝0为h(x)的极小值点，10分 所以h(x)＞h(0)＝0⑤，11分 即x＋ln(1－x)＞xln(1－x)， 故＜1，所以＜1⑥即g(x)＜1.12分 评分细则 第(1)问得分点及说明： (1) 定义域得1分； (2)正确求导得1分； (3)求出a＝1得1分 (4)进行验证得1分 第(2)问得分点及说明： (1)采用分析法得1分； (2)转化为证明不等式得1分； (3)构造函数得1分 (4)求导得1分 (5)求出最值得3分 (6)写出结论得1分 $