第二部分 专题一 第5讲 导数的综合应用-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第5讲　导数的综合应用 ★[高考定位]　利用导数解决恒成立问题、零点问题、不等式证明、等式等高考的重点和热点，经常以解答题形式出现，难度较大，常常利用函数的最值或构造新函数来解决． 考点一　利用导数处理不等式恒成立、能成立问题 [知识整合] [例1]　(理科)(2021·湛江二模)已知函数f(x)＝ex＋acos x－x－2，f′(x)为f(x)的导函数． (1)讨论f′(x)在区间内极值点的个数； (2)若x∈时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)求得f′(x)，对a进行分类讨论，利用导数研究f′(x)的单调性，从而求得f′(x)在区间内极值点的个数． (2)先根据f(0)≥0求得a≥1，利用放缩法得到f(x)≥h(x)，利用导数证得h(x)≥h(0)＝0，即f(x)≥0恒成立，由此确定a的取值范围． (1)由f(x)＝ex＋acos x－x－2，得f′(x)＝ex－asin x－. 令g(x)＝ex－asin x－，则g′(x)＝ex－acos x. 因为x∈，所以ex＞1,0＜cos x＜1. 当a≤1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，即f′(x)在区间内无极值点； 当a＞1时，g″(x)＝ex＋asin x，x∈， 所以g″(x)＞0，所以g′(x)＝ex－acos x在单调递增． 故存在x0∈，使g′(x0)＝0且x∈(0，x0)时， g′(x)＜0，g(x)单调递减； x∈时，g′(x)＞0，g(x)单调递增， 所以x＝x0为g(x)的极小值点， 此时f′(x)在区间内存在一个极小值点，无极大值点． 综上所述，当a≤1时，f′(x)在区间内无极值点；当a＞1时，f′(x)在区间内存在一个极小值点，无极大值点． (2)若x∈时，f(x)≥0恒成立，则f(0)＝1＋a－2≥0， 所以a≥1. 下面证明当a≥1时，f(x)≥0在x∈恒成立． 因为x∈时，0≤cos x≤1， 所以a≥1时，f(x)＝ex＋acos x－x－2≥ex＋cos x－x－2. 令h(x)＝ex＋cos x－x－2，x∈， 所以h′(x)＝ex－sin x－. 令φ(x)＝ex－sin x－，则φ′(x)＝ex－cos x. φ″(x)＝ex＋sin x在区间单调递增． 所以存在x1∈， 使φ′(x1)＝0，且x∈时，φ′(x)＞0，h′(x)单调递增； x∈(x1,0)时，φ′(x)＜0，h′(x)单调递减， 所以x＝x1时，h′(x)取得最大值，且h′(x)max＝h′(x1)． 因为φ′(x1)＝0，所以ex1＝cos x1，所以h(x)单调递减， 所以x∈时，h(x)≥h(0)＝0，即f(x)≥0成立． 综上，若x∈时，f(x)≥0恒成立， 则a的取值范围为(1，＋∞)． [点睛]　含参数分类讨论函数的单调性、极值，需要根据导函数的结构，对参数进行分类讨论． (文科)(2021·新疆适应性检测二)已知函数f(x)＝ex＋ln x. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)证明：当x＞0时，f(x)－x＞x2＋x3； (3)若x≥1时，f(x)≥aea恒成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)函数f(x)定义域为(0，＋∞)，且f(1)＝e，故切点为(1，e)，又∵f(x)＝ex＋ln x＝ex·eln x＝xex， ∴f′(x)＝(xex)′＝xex＋ex⇒f′(1)＝2e 所以y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0. (2)要证f(x)－x＞x2＋x3，只需证明xex－x＞x2＋x3， 又x＞0，故只需证明ex－1＞x＋x2成立，也即证明ex－1－x－x2＞0成立． 构造函数h(x)＝ex－1－x－x2(x＞0)． 则h′(x)＝ex－1－x(x＞0)，h″(x)＝ex－1＞0成立． 所以h′(x)＝ex－1－x在(0，＋∞)递增，从而h′(x)＞ h′(0)＝0成立． 所以h(x)在(0，＋∞)递增，从而h(x)＞h(0)＝0， 即ex－1－x－x2＞0，故f(x)－x＞x2＋x3成立． (3)由x≥1时，f(x)≥aea恒成立，即ex＋ln x≥aea……(*) ①当a≤0时，(*)显然成立； ②当a＞0时，ex＋ln x≥aea⇔ex＋ln x≥ea＋ln a⇔x＋ln x≥a＋ln a……(**) 设g(x)＝x＋ln x，则g′(x)＝1＋＞0， 所以g(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)递增，(**)可化为 g(x)≥g(a)，则x≥a恒成立． 因为x≥1，所以a≤(x)min，又a＞0，从而0＜a≤1， 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1]． [点睛]　要证明不等式成立，可将不等式转化为f(x)＞0的形式，然后利用导数证得f(x)