第二部分 专题一 第4讲 导数的简单应用-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第4讲　导数的简单应用 ★[高考定位]　高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题中． 考点一　导数的运算及几何意义 [知识整合] 1．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．四个易误导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)； (4)(logax)′＝(a＞0，且a≠1，x＞0)． [例1]　(1)(2021·河南高考适应性考试)已知函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则m的值为(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. [解析]　C　[求导，可求得在函数在点处切线的斜率k＝f′＝3－2m，再利用该切线与直线x＋2y＝0垂直，即可求得m的值． ∵f(x)＝x(x＋2)－mln x(x＞0)，∴f′(x)＝2x－＋2(x＞0) ∴f′＝3－2m ∵函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直， ∴切线的斜率k＝f′＝3－2m＝2，解得：m＝ 故选：C.] [点睛]　本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)． (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (2)(理科)(2021·衡阳一模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝1，f(x)的导函数f′(x)，则f′(－2019)－f′(2021)＝___________. [解析]　对f(x)＋f(2－x)＝1两边同时求导得f′(x)－f′(2－x)＝0，进而得答案． 因为f(x)＋f(2－x)＝1， 两边同时求导可得：f′(x)－f′(2－x)＝0， 故f′(－2019)－f′(2021)＝0. [答案]　0 [点睛]　本题考查复合函数导数问题，解题的关键在于根据已知对函数求导，考查运算求解能力，是中档题． (文科)(2021·攀枝花一模)已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2，则f(2)＝(　　) A．－2 B. C．6 D．14 [解析]　C　[求导，代入x＝1，求得f′(1)，然后将x＝2代入原函数求得函数值． f′(x)＝3x2－2f′(1)x，则f′(1)＝3－2f′(1)⇒f′(1)＝1， 则f(x)＝x3－x2＋2，f(2)＝23－22＋2＝6，故选：C.] 函数y＝f(x)的切线方程的三种类型及求解方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率k，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程． [跟踪训练] 1．(2021·开封一模)已知函数f(x)＝sin α＋cos α，α∈[0,2π)，若f′(α)＝1，则α＝(　　) A．0或　　　　　 B.或π C. D. 解析：D　[求出函数导数，可得sin α＝－1，再结合α的取值范围即可得出． ∵f(x)＝sin α＋cos x，∴f′(x)＝－sin x， ∴f′(α)＝－sin α＝1，即sin α＝－1， ∵α∈[0,2π)，∴α＝.故选：D.] 2．(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________． 解析：先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程． 因为曲线y＝，点(－1，－3)在曲线上， 所以y′＝＝， 所以y′|x＝－1＝5， 则曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为：y－(－3)＝5[x－(－1)]，即5x－y＋2＝0. 答案：5x－y＋2＝0 [点睛]　本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题． 考点二　导数与函数的单调性 [知识整合] 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，且f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函