第二部分 专题一 第3讲 不等式-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第3讲　不等式 ★[高考定位]　考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题；考查线性目标函数的最值．目标函数常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等． 考点一　不等式的解法与性质 [知识整合] 1．一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [例1]　(1)(2021·无锡2月质检)设集合M＝{x|2x＞1}，N＝，则M∩N＝(　　) A．[0,1)　　　　　 B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) [解析]　B　[首先求出集合M，N，再根据交集的定义计算可得； 因为M＝{x|2x＞1}，N＝ 所以M＝{x|x＞0}，N＝{x|－1＜x＜1}，M∩N＝{x|0＜x＜1}， 故选：B.] (2)已知a，b，c，d∈R，下列命题为真命题的是(　　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a2＞b2，且ab＜0则＜ [解析]　B　[选项A、C、D通过举出反例来说明其错误，选项B利用不等式的性质来说明其正确． A：若a＞b，c＝0则ac2＝bc2＝0，A不正确； B：因为a＞b，c＞d，则－c＜－d，所以a－d＞b－c，故B正确； C：当b＝c＝0时，可得不等式不成立，故C不正确． D：若a＝3，b＝－2，满足条件，但＞，所以D不正确． 故选：B.] 不等式的求解技巧 (1)对于和函数有关的不等式，可利用函数的单调性进行转化． (2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集． (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． [跟踪训练] 1．(2021·郑州三模)已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{x|3x＜1}，则A∩∁RB＝(　　) A．{x|x＜0} B．{x|x≥－2} C．{x|－2≤x＜0} D．{x|0≤x≤1} 解析：D　[解一元二次不等式、指数不等式求集合A、B，应用集合的交、补运算，求A∩∁RB即可． A＝{x|x2＋x－2≤0}＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}， ∴∁RB＝{x|x≥0}，故A∩∁RB＝{x|0≤x≤1}． 故选：D.] 2．下列命题正确的是(　　 ) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac2＜bc2，则a＜b C．若a＞b，则＜ D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d 解析：B　[对于A，若a＝1，b＝－1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－1，bd＝2，此时ac＜bd，所以A错误；对于B，因为ac2＜bc2，c2＞0，所以a＜b，所以B正确；对于C，若a＝1，b＝－1，则＝1，＝－1，此时＞，所以C错误；对于D，若a＝1，b＝－1，c＝－1，d＝－5，则a－c＝2，b－d＝4，此时a－c＜b－d，所以D错误，故选：B] 考点二　简单的线性规划 [知识整合] 1．平面区域的确定方法 平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的公共部分． 2．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法 线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－x＋，可得是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值． [例2]　(1)(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为(　　) A．18　　B．10　　　C．6　　　D．4 [解析]　C　[由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A(1,3)， 由z＝3x＋y，得y＝－3x＋z，由图可知，当直线y＝－3x＋z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1＋3＝6.故选：C.] [点睛]　本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题． (2)(2021·信阳质检二)已知x，y满足约束条件，则z＝的最大值为______