专题08向量方法解决角和距离（讲）（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

专题08立体几何中的角和距离（讲）（理） 高考定位　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上. 1.(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM. (1)求BC； (2)求二面角A－PM－B的正弦值. 解　(1)连接BD交AM于点E， 因为PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PD⊥AM， 又因为PB⊥AM，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD， 所以AM⊥平面PBD， 因为BD⊂平面PBD，所以AM⊥BD， 设BC＝x，因为M为BC的中点， 则BM＝MC＝BC＝x， 因为AB⊥AD，AM⊥BD，所以△DAB∽△ABM， 所以＝，即＝，解得x＝. 所以BC＝. (2)由题意DA，DC，DP两两互相垂直，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立如图空间直角坐标系. 所以A(，0，0)，P(0，0，1)，B(，1，0)，M， 所以＝(－，0，1)，＝， ＝(－，－1，1)，＝， 设平面APM的法向量m＝(x1，y1，z1)， 可得即 令y1＝1，得到所以m＝(，1，2)， 设平面BPM的法向量n＝(x2，y2，z2)， 所以即 令y2＝1，得到所以n＝(0，1，1)， 所以cos 〈m，n〉＝＝＝， 所以sin 〈m，n〉＝. 即二面角A－PM－B的正弦值为. 2.(2021·天津卷)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点. (1)求证：D1F∥平面A1EC1； (2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值； (3)求二面角A－A1C1－E的正弦值. (1)证明　以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2). 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E(2，1，0)，F(1，2，0)， 所以＝(1，0，－2)，＝(2，2，0)，＝(2，1，－2). 设平面A1EC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即令x1＝2，则y1＝－2，z1＝1，即m＝(2，－2，1). 因为·m＝2－2＝0，所以⊥m. 因为D1F⊄平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1. (2)解　由(1)得，1＝(2，2，2). 设直线AC1与平面A1EC1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈m，〉|＝＝＝，即直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为. (3)解　由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为＝(2，－2，0)， 则cos〈，m〉＝＝＝， 所以二面角A－A1C1－E的正弦值为＝. 所以A1D与D1B异面且垂直. 因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以·n＝0，又MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 设直线MN与平面BB1D1D所成的角为θ，因为平面BDD1B1的一个法向量为a＝(－1，1，0)，所以sin θ＝|cos〈，a〉|＝＝＝，所以直线MN与平面BB1D1D不垂直.故选A. 3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明： (1)当AB＝BC时，EF⊥AC； (2)点C1在平面AEF内. 证明　(1)如图，连接BD，B1D1. 因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD. 又因为BB1⊥平面ABCD， 于是AC⊥BB1. 又BD∩BB1＝B， 所以AC⊥平面BB1D1D. 由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC. (2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG. 因为ED1＝DD1，AG＝AA1，DD1綊AA1， 所以ED1綊AG，于是四边形ED1GA为平行四边形， 故AE∥GD1. 因为B1F＝BB1，A1G＝AA1，BB1綊AA1，所以B1FGA1是平行四边形，所以FG綊A1B1，所以FG綊C1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1. 于是AE∥FC1.所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内. 4.(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM. (1)证明：平面PAM⊥平面PBD； (2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积. (1)证明　因为PD⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD， 所以PD⊥AM. 又因为PB⊥AM，