专题07立体几何线面位置关系（练）（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

专题07　立体几何线面位置关系（练）（理） 1．【2021·全国高考真题】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)详见解析(2) 【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【解析】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD 因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD， 因此AO⊥平面BCD， 因为平面BCD，所以AO⊥CD (2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM 因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD 所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC 因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME 则为二面角E-BC-D的平面角, 因为,为正三角形,所以为直角三角形 因为, 从而EF=FM= 平面BCD, 所以 【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法. 2．【2021·浙江高考真题】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证； （2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出． 【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得， 所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以． （2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则, 又为中点，所以. 由（1）得平面，所以平面的一个法向量 从而直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑， 题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出． 3．【2021·全国高考真题（理）】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案． 【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以 因为，，所以， 又，所以平面． 所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 所以， ． 由题设（）． （1）因为， 所以，所以． （2）设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以， 此时． 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出（），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步． 4．【2021·全国高考真题（理）】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长； （2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【解析】（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， ，则，解得，故； （2）设平面的法向量为，则，， 由，取，可得， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ， 所以，， 因此，二面角的正弦值为. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 5．【2021·北京高考真题】已知正方体，点为中点，直线交平面于点． （1）证明：点为的中点； （2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交