专题07立体几何线面位置关系（测）（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

专题07　立体几何线面位置关系—测 【满分：150分 时间：120分钟】 一、单项选择题（12*5=60分） 1.设α，β为两个平面，则α∥β的必要不充分条件是(　　) A.α内存在两条相交直线与β内两条相交直线平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一条直线 答案　C 解析　对于A，α内存在两条相交直线与β内两条相交直线平行能推出α∥β，排除A. 对于B，α内有两条相交直线与β平行能推出α∥β，排除B. 对于C，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或α∥β，而由α∥β可以得到α，β平行于同一条直线，C正确. 对于D，α，β垂直于同一直线，则α∥β，排除D. 2.已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中错误的是(　　) A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β B.如果m⊂α，α∥β，那么m∥β C.如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l D.如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β 答案　D 解析　对于A，如果m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，因为n⊥β，则α⊥β，故正确；对于B，如果m⊂α，α∥β，那么m与β无公共点，则m∥β，故正确；对于C，如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l，故正确；对于D，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β的关系不确定，故错误. 3.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　法一　如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以有C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin ∠PBC1＝＝， 所以∠PBC1＝.故选D. 法二　如图，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角.由P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点.易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形 ，所以∠A1BC1＝，又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝，故直线PB与AD1所成的角为.故选D. 4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为16，点P在底面A1B1C1D1上且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　易知AB＝2，连接C1P. 在Rt△CC1P中，计算C1P＝＝2， 又A1P＝2，A1C1＝4， 所以P是A1C1的中点. 连接AC与BD交于点O，并连接OP，易证AC⊥平面BDD1B1，直线CP在平面BDD1B1内的射影是OP， 所以∠CPO就是直线CP与平面BDD1B1所成的角. 在Rt△CPO中，tan ∠CPO＝＝. 5.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，依题意，平面α与棱BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意. 由对称性，知过正方体ABCD－A1B1C1D1中心的平面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ. 正六边形EFGHIJ的边长为，将该正六边形分成6个边长为的正三角形. 故其面积为6××＝. 6..已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题: ①若m⊥n,m⊥α,则n∥α; ②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β; ③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β; ④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α. 其中真命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:①若m⊥n,m⊥α,则n可能在平面α内,故①错误; ②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α. 又n⊥β,∴α∥β,故②正确; ③过直线m作平面γ交平面β于直线c, ∵m,n是两条异面直线, ∴设n∩c=O. ∵m∥β,m⊂γ,γ∩β=c,∴m∥c. ∵m⊂α,c⊄α,∴c∥α. ∵n⊂β,c⊂β,n∩c=O,c∥α,n∥α, ∴α∥β.故③正确; ④∵α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m, ∴n⊥α.故④正确.