课时分层作业4 空间中的点、直线与空间向量-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(四)　空间中的点、直线与空间向量 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知点A(2,3,4)，B(1,2,1)，，且O为坐标原点，则C点的坐标为(　　) ＝3 A．(6,8,9)　　　　　　 B．(6,9,12) C．(7,11,13) D．(－7，－11，－13) C　[设C(x，y，z)，则＝(6,9,12)，＝(2,3,4)，∴3＝(x－1，y－2，z－1)， 由，＝3 得∴C(7,11,13)．]∴ 2．已知空间向量a＝(－1,0,3)，b＝(3，－2，x)，若a⊥b，则实数x的值是(　　) A．－1　　　B．0 C．1　　　D．2 C　[向量a＝(－1,0,3)，b＝(3，－2，x)， 若a⊥b，则－1×3＋0×(－2)＋3x＝0， 解得x＝1．故选C．] 3．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面 (　　) A．xOy平行 B．xOz平行 C．yOz平行 D．yOz相交 C　[因为＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz．] 4．设向量a＝(2,2,0)，b＝，(0°＜α＜180°)，若a⊥b，则角α＝(　　) A．30°　　　B．60° C．120°　　　D．150° B　[∵向量a＝(2,2,0)，b＝，(0°＜α＜180°)，a⊥b， ∴a·b＝2cos α－1＝0，∴cos α＝， ∵0°＜α＜180°， ∴角α＝60°．故选B．] 5．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　) A． B． C． D． A　[以D为坐标原点，＝(－1,0,2)， ＝(－1,1,1)，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则F(1，0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，则，， ∴|＝3，·，|＝，||＝ ∴cos〈．]＝＝〉＝， 二、填空题 6．已知点A(1,1，－4)，B(2，－4,2)，C为线段AB上的一点，且，则C点坐标为________． ＝ ＝(1，－5,6)，＝(x－1，y－1，z＋4)，　[设C(x，y，z)， 由得＝ ∴．]∴C 7．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________． 0　[由题意，得，所以y＋z＝0．]，z＝，解得y＝－＝＝＝(－1，－2－y，z－3)，则 8．长方体ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，则向量的夹角的余弦值是________． 与 ，　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，M D(0,0,0)，N， ，＝，＝ 设向量的夹角为θ，与 则cos θ＝．＝＝ 故向量．]的夹角的余弦值为与 三、解答题 9．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点． 求证：MN∥平面A1BD． [证明]　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 可求得M，，N D(0,0,0)，A1(1,0,1)， 于是，＝ ＝(1,0,1)． 得，∴DA1∥MN．∥，∴＝2 而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD． 10．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点． (1)求cos〈〉的值； ， (2)求证：A1B⊥C1M． [解]　(1)以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，＝(0,1,2)，＝(1，－1,2)， ∴cos〈．＝＝〉＝， (2)证明：A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，M，＝＝(－1,1，－2)，， 又＝0，· ∴A1B⊥C1M． 11．(多选题)已知空间向量a，b，a⊥b，a＝(1,3,5)，则b的坐标可以是(　　) A．(5,0，－1) B． C．(5，－3，－1) D．(8，－1，－1) ABD　[a＝(1,3,5)，a⊥b，∴a·b＝0． 在A中，a·b＝(1,3,5)·(5,0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A正确． 在B中，a·b＝(1,3,5)·＝0，B正确．＝1×(－2)＋3×3＋5× 在C中，a·b＝(1,3,5