课时分层作业20 椭圆的几何性质-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(二十)　椭圆的几何性质 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是(　　) A．＝1 ＋＝1　　　 B．＋ C．＝1 ＋＝1 D．＋ D　[由2a＝12，，解得a＝6，c＝2，＝ ∴b2＝62－22＝32， ∵焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＝1．]＋ 2．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． A　[由题意得2a＝．故选A．]＝ cm，∴e＝＝2(cm)，短轴长即2b为底面圆直径12 cm，∴c＝＝8 3．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 (　　) A．9 B．1 C．1或9 D．以上都不对 C　[解得a＝5，b＝3，c＝4． ∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1．] 4．若椭圆，两焦点分别为F1、F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为(　　) ＝1(其中a＞b＞0)的离心率为＋ A．＝1 ＋＝1 B．＋ C．＝1 ＋＝1 D．＋ D　[由题意知2a＋2c＝16．又e＝＝1．]＋，所以a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆方程为：＝ 5．已知F1、F2为椭圆＝1的左右焦点，M为椭圆上一点，若满足△MF1F2内切圆的周长等于3π的点M恰好有两个，则a2＝(　　) ＋ A．20 B．25 C．36 D．48 B　[设△MF1F2的内切圆的半径等于r，则由题意可得：2πr＝3π， ∴r＝，由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a， 又c2＝a2－b2＝a2－16， ∴c＝，由满足条件的点恰有两个，知M是椭圆的短轴顶点． 即|yM|＝4，S△MF1F2＝．·2c·|yM|＝4 又△MF1F2的面积为)，(a＋(|MF1|＋|MF2|＋2c)·r＝(a＋c)·r＝ 由得a2＝25．])＝4(a＋ 二、填空题 6．如果方程＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ． ＋ ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，＋＜m＜5　[由题意方程 可得m－4＞0,5－m＞0，并且m－4＞5－m， 解得＜m＜5．] 7．已知椭圆W：，两点A(0，0)、B(2,0)．若椭圆W上存在点C，使得△ABC为正三角形，则椭圆W方程为 ． ＝1(a＞b＞0)的离心率为＋ )，)或(1，－＝1　[因为A(0,0)、B(2,0)，且△ABC为正三角形，所以根据正三角形的性质可得点C(1，＋ 又∵点C在椭圆W上，∴＝1，＋ ∴解得 ∴椭圆W的方程为＝1．]＋ 8．若椭圆＝1上一点到两焦点的距离之和为m－3，则m的值为 ． ＋ 9　[若椭圆的焦点在x轴上，有4＞m，则a＝2，由题意知，2a＝m－3＝4， ∴m＝7，由4＞m知m＝7(舍去)； 若焦点在y轴，有m＞4，则a＝，得m＝9或m＝1(舍去)．]，由2a＝m－3＝2 三、解答题 9．设椭圆＝1(a＞b＞0)长轴的两个顶点分别为A、B，点C为椭圆上不同于A、B的任一点，若将△ABC的三个内角记作A、B、C，且满足3tan A＋3tan B＋tan C＝0，求椭圆的离心率． ＋ [解]　因为3tan A＋3tan B＋tan C＝0可得，＝，即＝＋ 而在三角形中，sin Acos B＋cos Asin B＝sin (A＋B)≠0，所以上式可得3cos (A＋B)－cos Acos B＝0 而cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B， 所以可得2cos Acos B＝3sin Asin B，即tan A·tan B＝， 由题意可得A(－a,0)，B(a,0)，设C(x0，y0)， 可得＝1，由双曲线的对称性设C在第一象限，如图所示：＋ 在△ACD中，tan A＝， 在△BDC中，tan B＝， 所以tan A·tan B＝，＝＝＝· 所以可得，＝ 所以离心率e＝．＝＝＝ 10．如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B． ＋ (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若，求椭圆的方程． ＝·，＝2 [解]　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c． 所以a＝．＝c，e＝ (2)由题意知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)． 其中，c＝，设B(x，y)． 由⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，＝2 解得x＝．，即B，y＝－ 将B点坐标代入＝1，＋＝1，得＋ 即＝1，＋ 解得a2＝3c2． ① 又由⇒b2－c2