课时分层作业8 空间中的距离-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(八)　空间中的距离 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为(　　) A．　　　D．4　　　C．3　　　B．2 B　[过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则|．]|＝2＝44，即||2＝32＋52＋22＋2×3×2×，所以|＋＋＝|＝5．又|＝2，||＝3，| 2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　) A． B． C． D． A　[．]＝))＝，则点P到直线l的距离d＝＝，|＝＝(－2,0，－1)，| 3．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　) A．1　　　B．　　　D．　　　C． B　[建立如图所示的坐标系A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,4,0)，E(2,2,0)，则＝(－2，－2,2)．＝(0，－4,2)，＝(－2,0,2)， 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 令y＝1，则z＝2，x＝2， ∴n＝(2,1,2)，∴d＝．]＝＝ 4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A．aa　　　D．a C．a　　　B． D　[由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两 平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，a．]＝＝＝(0，－a,0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，则两平面间的距离d＝＝(a，－a，a)， 5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别在A1B、B1D1上，且A1E＝B1D1，则EF与平面ABC1D1的距离为(　　) A1B，B1F＝ A．aa B． C．aa D． B　[如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得 E， F， 故，＝ ＝(0，a，a)．＝(a,0,0)， 设n＝(x，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量， 由⇒ 令z＝1，得n＝(0，－1,1)． ∵·(0，－1,1)＝0，·n＝ ∴⊥n，故EF∥平面ABC1D1． 又，＝ ∴a，·(0，－1,1)＝·n＝ ∴d＝a．]＝ 二、填空题 6．已知平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________． 2．]|＝2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以|·|2＝＝a＋b＋c，则|＝c，易得＝b，＝a，　[设 7．已知棱长为1的正方体ABCD­EFGH，若点P在正方体内部且满足，则点P到AB的距离为________． ＋＋＝ ．(0,0,1)＝(0,1,0)＋(1,0,0)＋＝　[建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，＝·＝(1,0,0)， 所以P点到AB的距离为d＝．]＝＝ 8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________． 　[建立如图所示的空间直角坐标系， 则A＝(0,1，－1)．＝(0,1,0)，，＝，B(0,1,0)，B1(0，1,1)，C1(0,0,1)，则 设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)， 则有 解得n＝．]＝＝，则所求距离为 三、解答题 9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D． (1)求BP的长； (2)求点P到平面EC1D的距离． [解]　(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， B(1,0,1)，D(0,2,1)，F(1，1,1)，E(0,1,0)，C1(1,2,0)， 设P(a，b,1)，＝(－1,2,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,1)，，λ∈[0,1]，＝λ 则＝(a－1，b,0)＝(－λ，2λ，0)， ∴P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)， 设平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)， 则取x＝1，得n＝(1，－1,1)， ∵PF∥平面EC1D， ∴PF·n＝λ－1＋2λ＝0， 解得λ＝， ∴P， ∴BP的长|．＋(1－1(2