课时分层作业7 二面角-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(七)　二面角 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝AA1，E为CC1的中点，则二面角E­BD­C的平面角的大小为(　　) A．　　　D．　　　C．　　　B． B　[如图，连接AC，BD，相交于点O， ∵AB＝BC， ∴OC⊥BD， 而△BCE≌△DCE， ∴BE＝DE， 则OE⊥BD， ∴∠EOC为二面角E­BD­C的平面角， 设AB＝BC＝2，则OC＝，AC＝ AA1＝2．AA1＝CC1＝，则CE＝ ∴∠EOC＝． 即二面角E­BD­C的平面角的大小为．] 2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为(　　) A．　　　 B． C． D．以上都不正确 A　[设AP＝AB＝1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，＝(0,1，－1)．＝(1,1，－1)， 设平面PCD的法向量m＝(x，y，z)， 则 取y＝1，得m＝(0,1,1)， 平面ABP的法向量n＝(0,1,0)， 设平面ABP与平面CDP所成的角为θ， 则cos θ＝．]，∴θ＝＝＝ 3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B­AC­D的大小为(　　) A．30°　　　 B．45° C．60°　　　 D．90° D　[如图所示，欲使得三棱锥体积最大， ∵三棱锥底面积一定， ∴只须三棱锥的高最大即可， 即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大， ∴当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时， 二面角B­AC­D的大小为90°．] 4．如图，已知三棱锥ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC，则二面角A1­BB1­C的余弦值为(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． B　[取AB的中点O，连接OC，OA1则AB⊥OC， AB⊥OA1，建系如图所示，设OA＝OB＝1，则OA1＝OC＝，则平面ABB1的法向量为m＝(1,0,0)． B＝(0,1,0)，C(－)，)，M(0,1，，0,0)，A1(0,0， B1(0,2，)． 则)．＝(0,1，，－1,0)，＝(－ 设平面BB1C的法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 令x＝1，得n＝(1，－，1)， cos〈m，n〉＝．]＝＝ 5．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′­AC­D，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为(　　) A． B． C．] D．[1， A　[连接B′M，DM，得AC⊥B′M，AC⊥DM， ∴∠DMB′是二面角B′­AC­D的平面角，且B′M＝DM＝， 在等腰△DMB′中，MN⊥B′D， 且∠DMN＝，θ，θ∈∠DMB′＝ 则MN＝DMcos．θ∈ ∴线段MN长度的取值范围为．] 二、填空题 6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________． 120°　[设二面角大小为θ，由题意可知 cos(π－θ)＝，＝＝ 所以θ＝120°．] 7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P­BC­A的大小为________． 90°　[取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P­BC­A的平面角．又PO＝AO＝，所以∠POA＝90°．]，PA＝ 8．如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1­CM­B的正切值是________． 　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，M(2,1,0)，＝(2,0,2)，＝(2，－1,0)， 设平面CMB1的法向量n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1,2，－1)， 平面CBM的法向量n＝(0,0,1)， 设二面角B1­CM­B的平面角为θ， 则cos θ＝，＝＝ ∴tan θ＝．]．∴二面角B1­CM­B的正切值为 三、解答题 9．如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A­VB­C的余弦值． [解]　取VB的中点为E， 连接AE，CE． ∵VA＝VB＝VC＝AB，ABCD为正方形， ∴AE⊥VB，CE⊥VB． ∴∠AEC是二面角A­VB­C的平面角． 设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，由余弦定理可知：a，AC＝ cos∠AEC