课时分层作业6 直线与平面的夹角-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(六)　直线与平面的夹角 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角正弦值为(　　) A．　　　D．　　　C．　　　B． C　[如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A1BC1的一个法向量为n＝(1,1,1)，＝(1,0,0)， 设直线AD与平面A1BC1所成角为θ， ∴sin θ＝|cos〈n，．]＝＝〉|＝ 2．OA、OB、OC是由点O出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC与平面OAB所成角的余弦值为(　　) A．　　　D． C．　　　B． B　[设OC与平面OAB所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，∴cos θ＝．] 3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° A　[∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，该长方体的体积为8， ∴2×2×AA1＝8，，解得AA1＝2 以D为原点，DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， A(2,0,0)，C1(0,2,2)，＝(－2,2,2)， 平面BB1C1C的法向量n＝(0,1,0)， 设直线AC1与平面BB1C1C所成的角为θ， sin θ＝，∴θ＝30°，＝＝ ∴直线AC1与平面BB1C1C所成的角为30°．故选A．] 4．在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O是AC的中点，OP⊥底面ABC．现以点O为原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为(　　) A．　　　 B． C． D． A　[因为OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，所以OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．设AB＝＝(－a，－a,0)．a)，＝(0，a，－a)，＝(a,0，－a)．∴a，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0,0，a，OP＝a，则PA＝2 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则 ，，即 令x＝1，则y＝－1，z＝－．]，所以PA与平面PBC所成角的正弦值为＝，n〉＝，所以cos〈，所以平面PBC的一个法向量为n＝ 5．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA1与平面AB1C1所成的角为(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． A　[以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(，1,3)，B1(0,2,3)，C1(0,0,3)，，1,0)，A1( ，－1,3)，＝(－，1,3)，＝(－＝(0,0,3)， 设平面AB1C1的法向量n＝(x，y，z)， 则 取x＝，0,1)，，得n＝( 设AA1与平面AB1C1所成的角θ， 则sin θ＝．，∴θ＝＝＝ ∴AA1与平面AB1C1所成的角为．故选A．] 二、填空题 6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为________． 45°　[作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO， 则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角．在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2．在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝．＝＝．在Rt△CMO中，sin∠CMO＝ ∴∠CMO＝45°．] 7．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1CD⊥平面ABCD，且四边形ABCD和四边形A1B1CD都是正方形，则直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________． 　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,1,0)，D1(－1，0,1)， ＝(－2，－1,1)，平面A1B1CD的法向量n＝(1,0,0)， 设直线BD1与平面A1B1CD所成角为θ， 则sin θ＝，＝ ∴cos θ＝，)＝ ∴直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是tan θ＝．]＝ 8．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于________． ，，B1　[如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA，OA1分别为x轴、z轴，过O作OA的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC边长为1，则A 所以．＝ 平面ABC的法向量n＝(0,0,1