课时分层作业5 空间中的平面与空间向量-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(五)　空间中的平面与空间向量 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　) A．圆　　　　B．直线　　　C．平面　　　D．线段 C　[M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．] 2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　) A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ D　[由题意知PA⊥平面ABCD，所以与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确．又因为菱形的对角线互相垂直，又AC为PC在平面ABCD内的射影且AC⊥BD，由三垂线定理的逆定理知PC⊥BD，故C正确．] 3．设μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．平行或直线在平面内 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 A　[∵μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量， a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量， μ·a＝－6＋8－2＝0， ∴直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．] 4．平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，则平面α的法向量可以是(　　) A．(1,0,1) B．(1,0，－1) C．(0,1,1) D．(－1,1,0) D　[∵平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)， ∴＝(0,0,2)，＝(2,2,0)， 设平面α的法向量n＝(x，y，z)， 则＝(－1,1,0)，取x＝－1，得 ∴平面α的法向量可以是(－1,1,0)．] 5．已知＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　) ，⊥＝(3,1，z)，若＝(1,5，－2)， A．，4 ，－，4 B．，－ C．，－15 ，－2,4 D．4， B　[∵＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，·，∴⊥ 又BP⊥平面ABC，∴，⊥，⊥ 则]解得 二、填空题 6．已知直线l的方向向量为s＝(1,2，x)，平面α的法向量n＝(－2，y,2)，若l⊂α，则xy的最大值为________． 时取等号．]，当且仅当x＝y＝，可得xy≤　[由题意可得s⊥n，∴s·n＝－2＋2y＋2x＝0，可得x＋y＝1，取x，y＞0，则1≥2 7．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＋z＝________． 1　[＝(－1，－1，－2)，＝(1,1,0)， ∵a＝(－1，y，z)为平面ABC的法向量， ∴a·＝0，＝0，a· ∴－1＋y＝0,1－y－2z＝0， 联立解得y＝1，z＝0，∴y＋z＝1．] 8．给出下列命题： ①直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直； ②直线l的方向向量a＝(0,1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α； ③平面α、β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β； ④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1． 其中真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上) ①④　[对于①，∵a＝(1，－1,2)，b＝， ∴a·b＝1×2－1×1＋2×＝0， ∴a⊥b，∴直线l与m垂直，①正确； 对于②，a＝(0,1，－1)，n＝(1，－1，－1)， ∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0， ∴a⊥n，∴l∥α或l⊂α，②错误； 对于③，∵n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)， ∴n1与n2不共线， ∴α∥β不成立，③错误； 对于④，∵点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)， ∴＝(－1,1,0)，＝(－1,1,1)， 向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量， ∴即 则u＋t＝1，④正确． 综上，以上真命题的序号是①④．] 三、解答题 9．如图所示，已知四棱锥P­ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．求证：PA⊥BD． [证明]　如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO． 因为PB＝PC，所以PO⊥BC． 又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC， 所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO． 在直角梯形ABCD中， 由于AB＝BC＝2CD， 易知Rt△ABO≌Rt△BCD， 所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD． 由三垂线定理，得PA⊥BD．