10.5二项式定理 -2022届高考数学一轮复习讲义

10.5 二项式定理 一、学习目标 1.理解二项式定理的推导过程； 2.掌握二项展开式的通项，并能解决特定项及其系数问题； 3.会区分二项式系数与项的系数，会用赋值法解决系数和问题. 二、知识回顾 1.二项式定理： 2.在 的展开式中共有 项，第 项为 ； 3.在 的展开式中，二项式系数和： . 3、 典例分析 例1.（1）若 展开式中存在常数项，则 的值可以是（ ） A.8 B. 9 C.10 D. 12 （2）在二项式 的展开式中，含 的项的系数是（ ） A． B． C． D． （3）若 的展开式中 的系数是 ，则实数 ______. 【答案】（1）C； （2）B； （3） . 例2.（1） 展开式中 的系数为（ ） A．15 B．20 C．30 D．35 （2）在 的展开式中，含 的项的系数是_______； （3）在 的展开式中 的系数为__________. 【答案】（1）C； （2） ； （3）A. 例3.（1）8.若对于任意实数 ，都有 ，则 的值为______. （2）若多项式 ，则 （ ） A.9 B.10 C.－9 D.－10 【答案】（1）6； （2） . 例4.已知 （1） ______； （2） ______； （3） ______； （4） _______. 【答案】 （1） 令 ，则 ，令 ，则 ，所以 ； （2） 令 ， ， ； （3） ； （4） . 例5.在 的展开式中，各项系数和比各项二项式系数和大992， （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）令 ，则各项系数和为 ，又各项的二项式系数和为 ， 由题意知， ，解得 ， 故展开式种二项式系数最大的项为 ， ； （2） 展开式的通项公式为 ，假设 项的系数最大， 则有 ，解得 ，于是 ，故系数最大的项为 . 4、 课外作业 1．在 的二项展开式中，第 项的二项式系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2．使得 的展开式中含有常数项的最小的 为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3． 在的展开式中，记项的系数为， 则（ ） A．45 B．60 C．120 D．210 【答案】C 4. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A．-40 B．-20 C．20 D．40 【答案】D 5.设 ，则 （ ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】C 6. 在 的展开式中，含 的项的 系数是______. 【答案】270 7.若的展开式中的系数为7，则实数 _________. 【答案】 8.若将函数 表示为 其中 ， ， ，…， 为实数，则 ＝________． 【答案】10 解析：法1：由等式两边对应项系数相等．即： ， 法2：对等式： 两边连续对x求导三次得： ，再运用赋值法，令 得 ，即 . 9.设二项式 的展开式中 的系数为 ，常数项为 ，若 ，则 的值是_______. 【答案】2 10.设 ， ，若 能被13整除，则 ________. 【答案】由于 , 又由于13|52，所以只需 ， ，所以 . $