10.4计数综合问题 -2022届高考数学一轮复习讲义

10.4 计数综合问题 一、教学目标 1.正确区分分类与分步，巩固分类加法计数原理与分步乘法计数原理； 2.正确区分排列与组合，巩固排列与组合问题； 3.理解分组问题中的平均分组与不平均分组. 二、知识回顾 1.排列与组合： 排列 组合 概念 从 个不同元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列 从 个不同元素中取出 个元素，并成一组 区别 取出的元素和顺序有关，先取后排。 取出的元素和顺序无关，只取不排。 公式 其中 ， 且 . 其中 ， 且 . 2.分组（堆）问题： （1）类型：①平均分组； ②不平均分组； ③局部平均分组. （2）组与组不讲顺序，常用除法消序. 3.分组分配问题的基本策略：先分组再分配. 三、典例分析 例1．（1）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 【答案】660 解析：第一类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有 种，故有 种；第二类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有 种，故有 种，根据分类计数原理共有 种. （2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数．(用数字作答) 【答案】1260 解析：若不取零，则排列数为 ，若取零，则排列数为 因此共有 个没有重复数字的四位数. 例2.有6本不同的书，按下列要求，各有几种分法？ （1）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本； （2）分成三堆，每堆各2本； （3）分成三堆，一堆4本，另两堆各1本. 【答案】（1） ； （2） ； （3） . 例3.有6本不同的书，按下列要求，各有几种分法？ （1）分给三人，甲1本，乙2本，丙3本； （2）分给三人，一人1本，一人2本，一人3本； （3）分给三人，每人各2本； （4）分给三人，甲4本，乙、丙各1本； （5）分给三人，一人4本，另两人各1本. 【答案】（1） ； （2） ；（3） ； （4） ； （5） . 例4.将五个不同的小球放入四个分别标有编号为1，2，3，4的的盒子， （1）若自由放入，则有多少种不同的放法？ （2）若恰有1个空盒，则有多少种不同的放法？ （3）若