10.3组合问题 -2022届高考数学一轮复习讲义

10.3 组合问题 一、教学目标 1.理解组合和组合数的概念； 2.了解组合数的两个性质； 3.会用组合数公式解决一些计数问题. 二、知识回顾 1.组合：从 个不同元素中取出 个元素，并成一组. 2.组合数公式： ，其中 ， 且 . 3.组合数性质：若 ， 且 ，则 ① ； ② . 4.隔板法：适用于将若干个相同元素分配给若干个不同对象. 三、典例分析 例1.现有10件产品，其中7件是正品，3件是次品. （1）从中任取3件产品，其中恰有1件次品的取法有几种？ （2）从中任取3件产品，其中至少有1件次品的取法有几种？ 【答案】（1） ； （2） . 例2.在6名内科医生和4名外科医生中，有内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按下列条件各有多少种选派方法？ (1)既有内科医生，又有外科医生；(2)至少有1名主任参加； (3)既有主任，又有外科医生. 【答案】（1）正面： 反面： ； （2） 正面： ，反面： ； （3） 若选外科主任，则其余可任选，有 种选法； 若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有 ； 故共有选派方法的种数为 . 例3.（1）如果一个三位正整数 满足 ，则称这样的三位数为“好数”，如123，367，378等，则所有的“好数”的个数是______. （2）某同学要走完共有10级的台阶，规定每步只能走一级或两级台阶，则该同学恰好用6步走完的不同的走法共有_____种. （3）马路上有编号为1，2，3，…，10只路灯，为节约用电，要求关闭其中3只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端路灯，则满足条件的关灯方法共有______种. 【答案】（1） ； （2） ； （3） . 例4.将10个三好学生名额分给三个不同班级. （1）每个班级至少1个名额，几种分法？ （3）每个班级至少2个名额，几种分法? （4）每个班级至少1个名额，且名额数各不相同，几种分法？ 【答案】（1） ； （2） ； （3） . 例5.众所周知，组合数有两个常用性质：① ； ② ，其中 ， ，且 . 对于性质①： ，可以理解为袋中共有 个小球，现要从中摸出 个小球，方法数 等价于从 个小球中选出 个小球留在袋中的方法数 ，即 .请你设计一个摸球为背景的问题来帮助理解组合数的性质②： . 【答案】袋中有 个白球和1个黑球，