3.1.2 椭圆的简单几何性质（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第一课时　椭圆的简单几何性质 学　习　目　标 知　识　导　图 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(数学抽象) 2.能利用椭圆的简单性质求标准方程.(数学运算) 3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题.(逻辑推理) 授课提示：对应学生用书第61页 [问题导学] 1.椭圆的图形有什么性质？ 2.观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？　　　 [知识梳理] 知识点一　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 微练习 1.已知椭圆＋＝1，则其顶点坐标分别为________________，焦点坐标为________________，长轴长等于________，短轴长等于________，焦距等于________.若点P(m，n)为该椭圆上任意一点，则m的取值范围是________. 解析：椭圆焦点在y轴上，且a2＝16，b2＝9，所以c＝，从而四个顶点坐标分别为(0,4)，(0，－4)，(3,0)，(－3,0)，两个焦点坐标为(0，)，(0，－)，长轴长2a＝8，短轴长2b＝6，焦距2c＝2.－b≤m≤b，即m∈[－3,3]. 答案：(0,4)，(0，－4)，(3,0)，(－3,0)　(0，)，(0，－)　8　6　2　[－3,3]　 知识点二　椭圆的离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率. (2)性质：① ②形象记忆：0<e<1，e越趋向于1越扁；e越趋向于0越圆. 微练习 2.椭圆x2＋4y2＝1的离心率等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：椭圆方程化为x2＋＝1，于是a＝1，b＝，c＝，故离心率e＝＝. 答案：A 授课提示：对应学生用书第62页 题型一　由椭圆的方程研究其几何性质 [例1]　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. [解析]　把已知方程化成标准方程＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝＝， 两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)， 四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)，B2(0,3). 确定椭圆的几何性质的四个步骤 (1)化标准：把椭圆方程化成标准形式. (2)定位置：根据标准方程分母大小确定焦点位置. (3)求参数：写出a，b的值， 并求出c的值. (4)写性质：按要求写出椭圆的简单几何性质. [变式训练] 　本例中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 解析：由已知得椭圆标准方程为＋＝1，于是a＝，b＝，c＝＝. 即长轴长2a＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝， 焦点坐标和， 顶点坐标，，，. 题型二　由椭圆的几何性质求其标准方程 [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)； (2)离心率e＝，焦距为12. [解析]　(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1； 若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6， ∴b2＝a2－c2＝64. 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 根据椭圆的性质求方程 (1)已知椭圆的几何性质，求其标准方程，主要采用待定系数法，解题步骤为： ①确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式； ②确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c； ③写出标准方程. (2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在坐标轴，则应进行讨论.一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点位置，而已知离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点位置.