3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 课程标准 核心素养目标 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的简单几何性质. 1．会求与椭圆几何性质有关的简单问题．(逻辑推理) 2．能用定义或建立方程(不等式)求离心率．(数学运算) 3．会利用几何性质求椭圆的标准方程．(逻辑推理、数学运算) 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 椭圆几何性质的四个作用 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置；(2)椭圆的顶点决定椭圆的大小；(3)椭圆的离心率决定了椭圆的扁平程度；(4)对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． [微练1]判断正误 (1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　×　) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(　√　) (3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．(　√　) [微练2]椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　D　) A．(－1 ，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) 2．椭圆的离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． (2)性质： [微练3]椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　B　) A．5，3，0.8 B．10，6，0.8 C．5，3，0.6 D．10，6，0.6 [微练4]椭圆＋＝1的离心率为(　　) A． B． C． D． C　解析：由椭圆的标准方程可知，该椭圆的焦点在y轴上，a2＝9，b2＝8，所以c＝1，所以e＝＝. 知识点一　由椭圆的方程研究其几何性质 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解：把已知方程化成标准方程＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝＝，两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)， 四个顶点坐标分别是A1(－4，0)，A2(4，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)． 确定椭圆几何性质的步骤 (1)化标准：把椭圆方程化成标准形式． (2)定位置：根据标准方程分母大小确定焦点位置． (3)求参数：写出a，b的值，并求出c的值． (4)写性质：按要求写出椭圆的几何性质． 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆方程m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为＋＝1. ∵m2<4m2，∴>， ∴椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝. ∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)， 顶点坐标为(－，0)，(，0)，(0，－)，(0，)，离心率e＝＝＝. 知识点二　利用几何性质求椭圆的方程 中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，求此椭圆的方程． 解：由已知得2a＝18，2c＝6，所以a＝9，c＝3. 从而b2＝a2－c2＝72，又焦点在x轴上，所以所求椭圆的方程为＋＝1. [探究] (变条件)若本例中去掉条件“焦点在x轴上”，椭圆的方程应该是什么？ 解：因为焦点位置还可能在y轴上，所以椭圆方程有两个，分别是＋＝1或＋＝1. 利用性质求椭圆方程的方法与步骤 (1)方法：利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法． (2)步骤：①确定焦点位置； ②根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数． (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________． 答案：(1)B　(2)＋＝1或＋＝1 解析：(1)由题意得解得因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的