3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2．了解离心率对椭圆扁平程度的影响． 3．掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系． 通过椭圆的简单几何性质的学习，形成数学抽象、直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养． [对应学生用书P57] 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． (2)性质： ① ②形象记忆：0<e<1，e越趋向于1越扁，形如一；e越趋向于0越圆，形如○. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(√) (2)对椭圆＋＝1(a＞b＞0)有－a≤x≤a，－b≤y≤b.(√) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×) (4)椭圆是轴对称图形，但不是中心对称图形．(×) (5)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，点P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，点P在长轴端点处．(√) 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　D　) A．(－1，0)，(1，0)　　　 B．(－6，0)，(6，0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) 3．(教材P112例4改编)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　B　) A．5，3，0.8 B．10，6，0.8 C．5，3，0.6 D．10，6，0.6 4．椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＋＝1． [对应学生用书P58] 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． [分析]　先把方程化成标准形式，再写出性质． 解　把已知方程化成标准方程＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝＝， 两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)， 四个顶点坐标分别是A1(－4，0)，A2(4，0)，B1(0，－3)，B2(0，3). [方法总结]　确定椭圆的几何性质的四个步骤 (1)化标准：把椭圆方程化成标准形式． (2)定位置：根据标准方程分母大小确定焦点位置． (3)求参数：写出a，b的值，并求出c的值． (4)写性质：按要求写出椭圆的简单几何性质 [训练1]　求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解　椭圆方程m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为＋＝1. ∵m2<4m2，∴>， ∴椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝. ∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)， 顶点坐标为(－，0)，(，0)，(0，－)，(0，)， 离心率e＝＝＝. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)； (2)离心率e＝，焦距为12. 解　(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1； 若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6， ∴b2＝a2－c2＝64. 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. [方法总结]　根据几何性质求椭圆标准方程的一般方法及步骤 (1)基本方法：待定系数法． (2)一般步骤： [训练2]　已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________________________． ＋＝1或＋