专题09 阿波罗尼斯圆-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题09 阿波罗尼斯圆 【方法点拨】 一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“啊波罗尼斯圆”. 说明： （1） 不妨设 ，，，再设 ，则有，化简得：，轨迹为圆心的圆. （2） 满足上面条件的啊波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分和外分所得的两个分点（如图，有）. 【典型题示例】 例1 满足条件AB＝2，AC＝BC的△ABC的面积的最大值为 . 【答案】2 【分析】已知三角形的一边长及另两边的关系欲求面积的最大值，一种思路是利用面积公式、余弦定理建立关于某一边的目标函数，最后利用基本不等式求解；二是紧紧抓住条件“AC＝BC”，符合 “啊园”，建系求出第三个顶点C的轨迹，挖出“隐圆”，当点C到直线AB距离最大，即为半径时，△ABC的面积最大为2. 【解析一】设BC＝，则AC＝ ， 根据面积公式得=， 根据余弦定理得， 代入上式得= 由三角形三边关系有解得， 故当时取最大值 【解析二】以AB所在的直线为x轴，它的中垂线为y轴建立直角坐标系， 则A（－1,0），B（1,0），设C（x,y） 由AC＝BC，即AC2＝2BC2 所以（x＋1）2＋y2＝2[（x－1）2＋y2]，化简得(x－3)2＋y2＝8 故点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8(y≠0)， 当点C到直线AB距离最大，即为半径时，△ABC的面积最大为2. 例2 已知等腰三角形腰上的中线为，则该三角形面积的最大值为________. 【答案】2 【分析】本题解法较多，但各种解法中，以利用“啊圆”为最简，注意到中线上三角形两边之比为2∶1，符合啊波罗尼斯圆定理，挖出“隐圆”，易求得最大值为2. 【解析一】如图1，中，，，． 设，则， 在中，， 在中，， 由可得，， 所以，则， 故， 易知当时，面积的最大值是2． 点评：避免求边，优化此解法，考虑中，有，而，同样可解． 【解析二】以中点为原点，所在直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，设，则，即， 整理得，，即有，所以． 【解析三】以中点为原点，所在直线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，则， 所以，而， 当且仅当时，取等． 【解析四】如图4，作于点，交于点，则为的重心， 则有，所以，当时，取等． 例3 已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5,0)，在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A