专题05数列中的奇偶项问题（讲）（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

专题05　数列中的奇偶项问题（讲）（理） 1.数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确的奇偶项问题. 2.对于通项公式分奇、偶项有不同表达式的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 1.（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题设可得 又，， 故，即，即 所以为等差数列，故. （2）设的前项和为，则， 因为， 所以 . 2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））数列满足，前16项和为540，则 ______________. 【答案】 【分析】， 当为奇数时，；当为偶数时，. 设数列的前项和为， ， . 故答案为：. 3.（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知数列的前项和为，其中为常数． （1）证明：； （2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】：（I）由题设，，．两式相减得，． 由于，所以． （II）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得． 故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，； 是首项为3，公差为4的等差数列，． 所以，． 因此存在，使得为等差数列． 　数列中的奇、偶项问题 考点一：已知条件明确的奇偶项问题. 例1. 已知数列{an}满足a1＝1， an＋1＝记bn＝a2n， 求证：数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式. 证明　∵bn＋1＝a2(n＋1)＝a2n＋1＋2n＋1－1＝a2n＋1＋2n ＝(a2n－2·2n)＋2n＝a2n＝bn， ∴{bn}为等比数列，且公比q＝. 又b1＝a1＝， 可得bn＝·＝， 所以，当n为偶数时，an＝b＝； 当n为奇数且n≥3时， an＝a(n－1)＋1＝an－1－2(n－1)＝b－2(n－1) ＝－2(n－1)， 可验证a1＝1也符合上式， 综上所述，an＝ 考点二：数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； 例2：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n. (1)求数列{an}的前100项和S100； (2)求数列{an}的通项公式. 解　(1)∵a1＝1，an＋1＋an＝4n， ∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100) ＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99) ＝4×502＝10 000. (2)由题意，an＋1＋an＝4n，① an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，② 由②－①得，an＋2－an＝4， 由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3. 当n为奇数时，an＝a1＋×4＝2n－1， 当n为偶数时，an＝a2＋×4＝2n－1. 综上所述，an＝2n－1. 考点三：含有(－1)n的类型 【典例3】 数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{bn}满足bn＝an＋1＋(－1)nan，n∈N*. (1)若数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前100项和S100； (2)若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式. 解　(1)∵{an}为等差数列，且a1＝1，a2＝2， ∴公差d＝1，∴an＝n. ∴bn＝ 即bn＝ ∴bn的前100项和 S100＝(b1＋b3＋…＋b99)＋(b2＋b4＋…＋b100) ＝50＋(5＋9＋13＋…＋201) ＝50＋50×5＋×4＝5 200. (2)由题意得，b1＝a2－a1＝1，公差d＝2， ∴bn＝2n－1. ∴ 由②－①得，a2n＋1＋a2n－1＝2， ∴a2n＋1＝2－a2n－1， 又∵a1＝1，∴a1＝a3＝a5＝…＝1， ∴a2n－1＝1，∴a2n＝4n－2， 综上所述，an＝ 考点四：含有{a2n}，{a2n－1}的类型； 例4. 在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求Sn. 解　(1)因为an·an＋1＝， 所以an＋1·an＋2＝， 所以＝，即an＋2＝an. 因为bn＝a2n＋a2n－1， 所以＝＝＝， 所以数列{bn}是公比为的等比数列. 因为a1＝1，a1·a2＝， 所以a2＝，b1＝a1＋a2＝， 所以bn＝×＝，n