专题06几何体表面积体积与球切、接的问题（讲）（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

专题06　几何体表面积体积与球切、接的问题（讲）（理） 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问. 1.(2021·全国甲卷)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是(　　) 答案　D 解析　根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D. 2.(2021·北京卷)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义： 0～10 10～25 25～50 50～100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(　　) A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨 答案　B 解析　由相似关系可得，雨水形成的小圆锥的底面半径r＝＝50(mm)， 故V小圆锥＝×π×502×150＝503·π(mm3)，从而可得积水厚度h＝＝＝12.5(mm)，属于中雨. 3.(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A.20＋12 B.28 C. D. 答案　D 解析　连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝＝，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝××(16＋4＋)＝. 4.(2021·北京卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据三视图知该四面体为三棱锥S－ABC，如图所示(其中正方体的棱长为1)，故S表＝3××1×1＋×()2＝. 5.(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O－ABC的体积V＝S△ABC·OO1＝××1×1×＝. 一、考向分析： 一、空间 二、考向讲解 考查内容 解 题 技 巧 1．空间几何体的三视图 (1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽；看不到的线画虚线． 2．用斜二测画法画几何体的直观图的注意点 (1)用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图与直观图中的“三变”、“三不变”： ①“三变” ②“三不变” (2)对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系：S′＝S，并能进行相关的计算． 3．多面体的侧面积和表面 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和． 形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式。 （2）周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，4． 4.转体的侧面积和表面积 (1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则 S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)． (2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则 S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)． (3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则 S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)． (4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2. 5.与球有关的组合体的常用结论 1)长方体的外接球： ①球心：体对角线的交点； ②半径：r＝(a，b，c为长方体的长、宽、高)． (2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： ①外接球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)； ②内切球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长)； ③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)． (3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)： ①外接球：球心是正四面体的中心，半径r＝a(a为正四面体的棱长)． ②内切球：球心是正四面体的中心，半径r＝a(a为正四面体的棱长)． 考点一　空间几何体的三视图与直观图 【例1】 (1)某圆柱