圆锥曲线与方程 复习导航-【数理报】2021-2022学年高中数学选修2-1复习专号（北师大版）

书 复习导言 圆锥曲线与方程是高中数学的重点内容，是高考 命题的重点和热点，在历年高考命题中占有较大的比 重，其解答题往往处在压轴题的位置．复习时，一方面 要认真领会每一种曲线的定义、方程、性质及 ａ，ｂ，ｃ，ｅ 的含义和相互关系，另一方面要注意几种曲线的概念 与性质的区别和联系． 数学思想 《圆锥曲线与方程》一章蕴含了许多数学思想，同 学们在掌握基础知识的同时，还应注意数学思想方法 的提炼与总结，使自己的解题能力上升到一定的高度． 下面举例介绍，以供参考． 一、函数思想 例１抛物线ｙ＝２ｘ２上的点与直线ｙ＝２ｘ－３上的 点之间距离的最小值为 ． 分析：涉及的点是动点，而直线是定直线，因此可 引入参数表示动点坐标，然后建立关于参数的函数，最 后求函数的最值． 解：设抛物线上任一点（ｔ，２ｔ２）， 则此点到已知直线ｙ＝２ｘ－３的距离为 ｄ＝｜２ｔ－２ｔ ２－３｜ 槡５ ＝槡５５ －２ｔ－( )１２ ２ －５２ ， 故当ｔ＝ １２时，ｄ取得最小值 槡５ ２． 点评：建立与距离相关的函数通常是利用两点间 的距离公式、点到直线的距离公式等．本题解答须注意 正确处理目标函数中的绝对值． 二、方程思想 例２设Ｆ１，Ｆ２是椭圆 ４ｘ２ ４９＋ ｙ２ ６ ＝１的两个焦点，Ｐ 是椭圆上的点，且｜ＰＦ１｜∶｜ＰＦ２｜＝４!３，则△ＰＦ１Ｆ２ 的面积为 （　　） （Ａ）４　　（Ｂ）６　　（Ｃ）槡２２　　（Ｄ）槡４２ 分析：根据椭圆的定义建立关于｜ＰＦ１｜，｜ＰＦ２｜的 方程，结合｜ＰＦ１｜!｜ＰＦ２｜＝４!３，通过解方程组可 求得｜ＰＦ１｜，｜ＰＦ２｜的长． 解：由题意知 ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝７， ｜ＰＦ１｜!｜ＰＦ２｜＝４!３ { ， 解得｜ＰＦ１｜＝４，｜ＰＦ２｜＝３． 又｜Ｆ１Ｆ２｜＝５，则 △ＰＦ１Ｆ２为直角三角形，则 △ＰＦ１Ｆ２的面积为 １ ２×３×４＝６．故选（Ｂ）． 点评：本题求 △ＰＦ１Ｆ２的面积涉及到 ｜ＰＦ１｜， ｜ＰＦ２｜的长，而已知条件中恰好有关于 ｜ＰＦ１｜， ｜ＰＦ２｜的方程，因此只须再建立一个方程即可将问题 解决． 三、化归与转化思想 例３点Ｐ是抛物线ｙ２ ＝４ｘ上的一个动点，则点Ｐ 到点Ａ（０，－１）的距离与Ｐ到直线ｘ＝－１的距离和的 最小值是 （　　） （Ａ）槡５　　　（Ｂ）槡３　　　（Ｃ）２　　　（Ｄ）槡２ 分析：不难发现ｘ＝－１为抛物线的准线，因此可利 用定义将点Ｐ到直线ｘ＝－１的距离转化为点Ｐ到焦点 Ｆ的距离，然后将所求距离和转化为求线段ＡＦ的长． 解：ｙ２ ＝４ｘ的准线是ｘ＝－１，所以Ｐ到ｘ＝－１的 距离等于Ｐ到焦点Ｆ的距离，故点Ｐ到点Ａ（０，－１）的 距离与点Ｐ到ｘ＝－１的距离之和的最小值为｜ＦＡ｜＝ 槡２．故选（Ｄ）． 点评：本题利用转化思想解答有两个关键：（１）清 楚认识到直线ｘ＝－１为抛物线的准线；（２）将所求折 线段的长转化为求直线段的长． 四、数形结合思想 例４已知直线ｌ１：４ｘ－３ｙ＋６＝０和直线 ｌ２：ｘ＝ －１，抛物线ｙ２ ＝４ｘ上一动点Ｐ到直线ｌ１和直线ｌ２的 距离之和的最小值是 （　　） （Ａ）２　　　（Ｂ）３　　　（Ｃ）１１５　　　（Ｄ） ３７ １６ 分析：首先根据题设条件作出涉及到的直线与抛 物线，根据图形特点可先将所求距离转化为动点 Ｐ到 直线ｌ１和到焦点的距离，然后结合图形再利用“垂线段 最短”来求最小值． 解：如图１所示，直线 ｌ２：ｘ＝ －１为抛物线ｙ２＝４ｘ的准线，由抛 物线的定义知，Ｐ到 ｌ２的距离等于 ｜ＰＦ｜（Ｆ为焦点），再根据图形知 所求距离和的最小值即为点 Ｆ到 直线ｌ１的距离， 即ｄ＝｜４×１－３×０＋６｜５ ＝２． 故选（Ａ）． 点评：本题利用抛物线的定义，将点Ｐ到两条直线 的距离之和转化为抛物线上的一点到一条定直线和一 个定点的距离之和，然后结合图形并利用平面几何知 识使问题得到了快速的解答． 题型归纳 考点一：圆锥曲线方程 例１已知双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的焦 距为 槡２５，且双曲线的一条渐近线与直线２ｘ＋ｙ＝０垂 直，则双曲线的方程为 （　　） （Ａ）ｘ ２ ４－ｙ ２ ＝１ （Ｂ）ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１ （Ｃ）３ｘ ２ ２０－ ３ｙ２ ５ ＝１ （Ｄ） ３ｘ２ ５ － ３ｙ２ ２０＝１ 解析：由题意得ｃ＝槡５， ｂ ａ ＝ １ ２，则ａ＝２，ｂ＝１， 所以双曲线的方程为 ｘ２ ４－ｙ ２ ＝１． 点评：本题考查双曲线的基本量，意在考查学生对 基础知识的运用能力． 考点二：圆锥曲线的性质 例２设Ｆ为抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝４ｘ的焦点，曲线 ｙ＝ ｋ ｘ（ｋ＞０）与Ｃ交于点Ｐ，ＰＦ⊥ｘ轴，则ｋ＝ （　　） （Ａ）１２　　　（Ｂ）１　　　（Ｃ） ３ ２　　　（Ｄ）２ 解析：易知抛物线的焦点为Ｆ（１，０）， 设Ｐ（ｘＰ，