空间向量与立体几何 复习导航-【数理报】2021-2022学年高中数学选修2-1复习专号（北师大版）

书 复习导言 空间向量是数与形的结合体，是研究立体几何问 题的一个绝佳工具，有了它我们就无需再用抽象、复杂 的逻辑论证研究几何问题，代之以简明、易懂的代数运 算，从而使立体几何研究进入“数字化时代”．使用空间 向量不但能研究立体几何中的常规问题，而且在研究 用几何法很难解决的探索性问题时也轻松自如．因此 我们要重视空间向量与立体几何的复习，为今后的高 考打下良好的基础． 题型解析 题型一：空间向量的概念 例１给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起 点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量ａ，ｂ满足｜ａ｜＝｜ｂ｜，则ａ＝ｂ； ③在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，必有 →ＡＣ＝Ａ１→ Ｃ１； ④若空间向量ｍ，ｎ，ｐ满足ｍ＝ｎ，ｎ＝ｐ，则ｍ＝ｐ． 其中假命题的个数是 （　　） （Ａ）１　　　（Ｂ）２　　　（Ｃ）３　　　（Ｄ）４ 解析：①是假命题．将空间中所有的单位向量移到 同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不 是一个圆． ②是假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量 相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但 ② 中向量 ａ与ｂ的方向不一定相同． ③是真命题．根据正方体的性质，在正方体 ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，向量 →ＡＣ与Ａ１→ Ｃ１的方向相同，模也相等， 则有 →ＡＣ＝Ａ１→ Ｃ１． ④是真命题．向量的相等满足传递性．故选（Ｂ）． 题型二：空间向量的坐标运算 例２已知ａ＝（２，－１，－２），ｂ＝（０，－１，４），求 ａ＋ｂ，ａ－ｂ，ａ·ｂ，（２ａ）·（－ｂ），（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）． 解析：ａ＋ｂ＝（２，－１，－２）＋（０，－１，４）＝（２＋ ０，－１＋（－１），－２＋４）＝（２，－２，２）； ａ－ｂ＝（２，－１，－２）－（０，－１，４）＝（２－０，－１ ＋１，－２－４）＝（２，０，－６）； ａ·ｂ＝（２，－１，－２）·（０，－１，４）＝２×０＋（－１） ×（－１）＋（－２）×４＝－７； （２ａ）·（－ｂ）＝－２（ａ·ｂ）＝－２×（－７）＝１４； （ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝（２，－２，２）·（２，０，－６）＝２ ×２－２×０＋２×（－６）＝－８． 题型三：空间向量的数量积运算 例３如图１，已知正四面体 ＡＢＣＤ，ＡＢ＝ａ，求下列各式的 值： （１）→ＡＢ·→ＡＣ； （２）→ＡＤ·→ＤＢ． 解析：（１）在 正 四 面 体 ＡＢＣＤ中， → →｜ＡＢ｜＝｜ＡＣ｜＝ａ，且 〈 →ＡＢ，→ＡＣ〉＝６０°， 所以 →ＡＢ·→ → →ＡＣ＝｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜ｃｏｓ６０°＝ １２ａ ２． （２）因为 → →｜ＡＤ｜＝｜ＤＢ｜＝ａ，〈→ＡＤ，→ＤＢ〉＝１２０°， 所以 →ＡＤ·→ → →ＤＢ＝｜ＡＤ｜｜ＤＢ｜ｃｏｓ１２０°＝－１２ａ ２． 题型四：利用空间向量判断线面位置关系 例４根据下列条件，判断相应的直线与直线、直线 与平面、平面与平面之间的位置关系． （１）两直线ｌ１，ｌ２的方向向量分别是ａ＝（１，－３， －１），ｂ＝（８，２，２）； （２）平面α，β的法向量分别是 ｕ＝（１，３，０），ｖ＝ （－３，－９，０）； （３）直线 ｌ的方向向量、平面 α的法向量分别是 ａ＝（３，２，１），ｕ＝（－６，－４，－２）． 解析：（１）因为ａ＝（１，－３，－１），ｂ＝（８，２，２）， 所以ａ·ｂ＝８－６－２＝０， 所以ａ⊥ｂ，所以ｌ１⊥ｌ２． （２）因为ｕ＝（１，３，０），ｖ＝（－３，－９，０）， 所以ｖ＝－３ｕ，所以ｖ∥ｕ，所以α∥β． （３）因为ａ＝（３，２，１），ｕ＝（－６，－４，－２）， 所以ｕ＝－２ａ，所以ａ∥ｕ， 所以ｌ⊥α． 题型五：利用空间向量证明平行问题 例５在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ是ＢＣ的中 点，Ｍ，Ｎ分别是ＡＥ，ＣＤ１的中点，ＡＤ＝ＡＡ１ ＝ａ，ＡＢ＝ ２ａ．求证：ＭＮ∥平面ＡＤＤ１Ａ１． 证明：如图２，建立空间直角 坐标系 Ｄ－ｘｙｚ，则 Ａ（ａ，０，０）， Ｂ（ａ，２ａ，０），Ｃ（０，２ａ，０），Ａ１（ａ， ０，ａ），Ｄ１（０，０，ａ）． 因为 Ｅ，Ｍ，Ｎ分别是 ＢＣ， ＡＥ，ＣＤ１的中点， 所以Ｅ ａ ２，２ａ，( )０， (Ｍ ３ａ４，ａ， )０ ，Ｎ ０，ａ，ａ( )２ ， 则 →ＭＮ＝ －３ａ４，０， ａ( )２ ． 取ｎ＝（０，１，０），显然有ｎ⊥平面ＡＤＤ１Ａ１． 又 →ＭＮ·ｎ＝０，所以 →ＭＮ⊥ｎ． 又ＭＮ平面ＡＤＤ１Ａ１， 所以ＭＮ∥平面ＡＤＤ１Ａ１． 例６在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｍ，Ｎ分别是 棱Ａ１Ｂ１，Ａ１Ｄ１的中点，Ｅ，Ｆ分别是棱 Ｂ１Ｃ１，Ｃ１Ｄ１的中 点．求证： （１）Ｅ，Ｆ，Ｂ，Ｄ四点共面； （２）平面ＡＭＮ∥平面ＢＤＦＥ． 证明：如图３，建立空间直角坐 标系Ｄ－ｘｙｚ