第14期 命题及其关系和充分条件与必要条件【数理报】2021-2022学年高中数学选修1-1(人教A版)

书 第１７期　双曲线同步测试题 Ａ组 一、选择题 １～８　ＣＡＤＤ　ＢＡＣＡ 提示： １．由题得双曲线的焦点为（２，０）和（－２，０），椭圆的 焦点为 ８槡 －ｐ，( )０和 － ８槡 －ｐ，( )０，由于双曲线和椭 圆的焦点相同，所以 ８槡 －ｐ＝２，解得ｐ＝４．故选（Ｃ）． ２．由题得ｅ＝ ｃａ＝槡３，所以 ｂ２ ａ２ ＝ｃ ２－ａ２ ａ２ ＝ｅ２－１＝ ３－１＝２，所以 ｂａ＝槡２，因为渐近线方程为ｙ＝± ｂ ａｘ，所 以渐近线方程为ｙ＝±槡２ｘ，选（Ａ）． ３．方程化为 ｘ ２ ｃｏｓθ ＋ ｙ ２ １ ｔａｎθ ＝１，由于θ在第三象限，所 以ｃｏｓθ＜０，１ｔａｎθ ＞０．所以曲线表示焦点在ｙ轴上的双 曲线． ４．由题意可得，双曲线焦点位于ｘ轴，且焦点坐标为 （±ａ，０），顶点坐标为（± ａ２－ｂ槡 ２，０），则双曲线中ａ′＝ ａ２－ｂ槡 ２，ｂ′＝ｂ，双曲线的标准方程为： ｘ ２ ａ２－ｂ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝ １．故选（Ｄ）． ５．由双曲线的方程，可得ｂ２＝４，所以２ｂ＝４，又２ａ－ ２ｂ＝２，所以ａ＝３，ｃ＝槡１３，所以ｅ＝槡 １３ ３ ，故选（Ｂ）． ６．双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的一条渐近线 平行于直线ｌ：ｙ＝ｘ＋２，所以 ｂａ ＝１，ｙ＝ｘ＋２中令ｙ＝ ０可得ｘ＝－２，即ｃ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝２，解得ａ２ ＝２，ｂ２ ＝ ２．所以双曲线的方程是ｘ ２ ２－ ｙ２ ２ ＝１，故选（Ａ）． ７．由题得ａ＝２，ｂ＝槡５，ｃ＝３，即Ａ，Ｃ是双曲线的两 个焦点，因为顶点Ｂ在双曲线ｘ ２ ４－ ｙ２ ５ ＝１上，所以｜ＢＡ－ ＢＣ｜＝２ａ＝４，ＡＣ＝６，则由正弦定理得｜ｓｉｎＡ－ｓｉｎＣ｜ｓｉｎＢ ＝｜ＢＣ－ＢＡ｜ＡＣ ＝ ２ａ ２ｃ＝ ４ ６ ＝ ２ ３，故选（Ｃ）． ８．由题意，可知双曲线两焦点的坐标分别为 Ｆ１（－槡１０，０），Ｆ２（槡１０，０）．设点 Ｐ（ｘ，ｙ），则ＰＦ → １ ＝ （－槡１０－ｘ，－ｙ），ＰＦ → ２ ＝（槡１０－ｘ，－ｙ）． 因为ＰＦ→ １·ＰＦ→ ２＝０，所以ｘ２＋ｙ２－１０＝０，即ｘ２＋ｙ２ ＝１０． 所以｜ＰＦ→ １＋ＰＦ→ ２｜＝｜２→ＰＯ｜＝２· ｘ２＋ｙ槡 ２ ＝ 槡２ １０． 二、填空题 ９．１４．　１０． 槡６ ２． 提示： ９．从集合｛－１，１，２，３｝中任意取出两个不同的数记 作ｍ，ｎ，共有４×３＝１２个基本事件，其中满足方程ｘ ２ ｍ ＋ ｙ２ ｎ ＝１表示焦点在ｘ轴上的双曲线，即ｍ＞０，ｎ＜０的基 本事件有３个，由古典概型的概率公式，得方程ｘ ２ ｍ ＋ ｙ２ ｎ ＝１表示焦点在ｘ轴上的双曲线的概率是Ｐ＝３１２＝ １ ４． １０．双曲线Ｃ的中心在原点，焦点在ｙ轴上，由双曲线 Ｃ的一条渐近线与直线槡２ｘ－ｙ－１＝０平行，可得 ａ ｂ ＝ 槡２，即ａ ２ ＝２ｂ２ ＝２ｃ２－２ａ２，可得离心率ｅ＝槡６２． 三、解答题 １１．解：设双曲线的标准方程为ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１，其离心 率为ｅ，半焦距为ｃ，由题意可得ｃ＝ ２５－槡 ９＝４，ｅ＋ ４ ５ ＝１４５，解得ｅ＝２，即 ｃ ａ ＝２，所以ｃ＝２ａ，即ａ＝２，又ｂ ２ ＝ｃ２－ａ２＝１６－４＝１２，所以双曲线的标准方程为ｙ ２ ４－ ｘ２ １２＝１． １２．解：ｘ２－ｙ２＝８可化为ｘ ２ ８－ ｙ２ ８ ＝１，可得ａ＝ 槡２２， 由双曲线的定义得△Ｆ１ＰＱ的周长为｜ＰＦ１｜＋｜ＱＦ１｜＋ ｜ＰＱ｜＝｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＋｜ＱＦ１｜－｜ＱＦ２｜＋２｜ＰＱ｜＝ ４ａ＋１４＝１４＋ 槡８２． １３．解：（１）椭圆方程可化为ｘ ２ ９＋ ｙ２ ４＝１，焦点在ｘ轴 上，且ｃ＝ ９－槡 ４＝槡５．故可设双曲线方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞０，ｂ＞０），则有 ９ ａ２ －４ ｂ２ ＝１， ａ２＋ｂ２ ＝５ { ， 解得ａ２ ＝３，ｂ２ ＝２， 故双曲线的标准方程为 ｘ２ ３－ ｙ２ ２ ＝１． （２）不妨设 Ｍ在双曲线的右支上，则有 ｜ＭＦ１｜－ ｜ＭＦ２｜＝ 槡２３，又｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜＝ 槡６３，解得｜ＭＦ１｜＝ 槡４３，｜ＭＦ２｜＝ 槡２３，｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃ＝ 槡２５，因此在△ＭＦ１Ｆ２ 中，｜ＭＦ１｜边最长，由余弦定理可得 ｃｏｓ∠ＭＦ２Ｆ１ ＝ １２＋２０－４８ ２× 槡２３× 槡２５ ＜０． 所以∠ＭＦ２Ｆ１为钝角，故△ＭＦ１Ｆ２是钝角三角形． Ｂ组 一、选择题 １～４　ＣＢＡＢ 提示： ２．根据题意 ｜ＭＦ１ ｜＝２｜ＭＦ２ ｜，｜Ｆ１Ｆ２ ｜＝ 槡３｜ＭＦ２｜＝２ｃ，因为｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜＝２ａ，所以｜ＭＦ２｜ ＝２ａ，故 槡２３ａ＝２ｃ，所以双曲线的离心率为槡３． ３．由题意得ｅ１ｅ２ ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ａ · ｍ２－ｂ槡