第15期 全称量词与存在量词,逻辑联结词“且严或”“非”-【数理报】2021-2022学年高中数学选修1-1(北师大版)

书 ×｜ｙ１ － ｙ２ ｜＝ １ ２ （ｙ１＋ｙ２） ２－４ｙ１ｙ槡 ２ ＝ １ ２ · ( )２３ ２ －４ －( )槡 １ ６ ＝槡１０６ ． 第１７期　跟踪训练参考答案 抛物线及其标准方程 １．Ｄ　２．Ｄ　３．Ｄ　４．（２，槡２２）　５．ｙ ２ ＝１６ｘ ６．解：（１）根据题意双曲线方程为ｘ ２ ９－ ｙ２ １６＝１，左顶 点为（－３，０），由题意设抛物线方程为 ｙ２ ＝－２ｐｘ（ｐ＞ ０），且－ｐ２ ＝－３，解得ｐ＝６，故所求抛物线的标准方程为 ｙ２ ＝－１２ｘ． （２）依题意，若焦点在ｘ轴上，设抛物线的方程为ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ≠０），将Ｐ（－３，－６）代入，得（－６）２ ＝２ｐ× （－３），解得２ｐ＝－１２，此时方程为ｙ２ ＝－１２ｘ；若焦点在 ｙ轴上，设抛物线的方程为 ｘ２ ＝２ｐｙ（ｐ≠０），将 Ｐ（－３， －６）代入，得（－３）２＝２ｐ（－６），解得２ｐ＝－３２，此时方 程为ｘ２＝－３２ｙ，所以所求抛物线的方程为ｙ ２＝－１２ｘ或 ｘ２ ＝－３２ｙ． 抛物线的简单性质 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｂ　４．４　５．槡２ ６．解：设动圆圆心 Ｃ的坐标为（ｘ，ｙ），由题意得动圆 半径ｒ＝ （ｘ－１）２＋ｙ槡 ２，圆心到ｙ轴的距离为｜ｘ｜，依 题意有｜ｘ｜２＋１２ ＝ （ｘ－１）２＋ｙ槡( )２ ２ ，化简得 ｙ２ ＝ ２ｘ，即动圆圆心Ｃ的轨迹方程为ｙ２ ＝２ｘ． 第１７期　抛物线同步测试题 Ａ组 一、选择题 １～８　ＣＣＡＡ　ＢＣＢＡ 提示： １．由题得ｙ２＝１４ｍｘ，所以２ｐ＝ １ ４ｍ，所以 ｐ ２＝ １ １６ｍ．所 以抛物线的焦点坐标为 １ １６ｍ，( )０．故选（Ｃ）． ２．因为｜ＭＦ｜＝７，点Ｍ到ｘ轴的距离为５，所以｜ａ｜４ ＝ ７－５，解得｜ａ｜＝８，因此焦点Ｆ到准线ｌ的距离是｜ａ｜２ ＝４， 故选（Ｃ）． ３．如图１，抛物线 ｙ２ ＝ ４ｘ的焦点为Ｆ（１，０），设点 Ｐ 到抛物线的准线的距离为ｄ， 根据抛物线的定义有 ｄ＝ ｜ＰＦ｜，所以 ｜ＰＱ｜＋ｄ＝ ｜ＰＱ｜＋｜ＰＦ｜≥｜ＱＦ｜＝ 槡１７，故选（Ａ）． ４．由抛物线的方程 ｙ２ ＝４ｘ，可得 Ｆ（１，０），Ｋ（－１， ０），准线方程为ｘ＝－１，设Ｐ（ｘ０，ｙ０），则｜ＰＦ｜＝ｘ０＋１＝ ５，即ｘ０＝４，不妨设Ｐ（ｘ０，ｙ０）在第一象限，则Ｐ（４，４），所 以Ｓ△ＰＫＦ ＝ １ ２×｜ＦＫ｜×｜ｙ０｜＝ １ ２×２×４＝４，故选 （Ａ）． ５．抛物线Ｃ：ｙ２＝８ｘ的焦点Ｆ（２，０），Ｍ是Ｃ上一点且ＦＭ 的延长线交ｙ轴于点Ｎ．若Ｍ为ＦＮ的中点，可知Ｍ的横坐标 为１，则 Ｍ的纵坐标为 ± 槡２２，｜ＦＮ｜＝２｜ＦＭ｜＝ ２ （１－２）２＋（±槡２２－０）槡 ２ ＝６．故选（Ｂ）． ６．因为直线ｙ＝ｋｘ－ｋ＝ｋ（ｘ－１），所以直线过点（１， ０）．又点（１，０）在抛物线ｙ２ ＝２ｐｘ的内部，所以当 ｋ＝０ 时，直线与抛物线有一个公共点；当ｋ≠０时，直线与抛物 线有两个公共点． ７．由抛物线的定义可知｜ＡＦ｜－｜ＢＦ｜＝ｙ１－ｙ２＝ １ ２ （ｘ２１－ｘ ２ ２）＝２，则ｘ ２ １－ｘ ２ ２＝４，所以ｙ１＋ｘ ２ １－ｙ２－ｘ ２ ２＝（ｙ１ －ｙ２）＋（ｘ ２ １－ｘ ２ ２）＝２＋４＝６，故选（Ｂ）． ８．设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），将其分别代入ｙ ２ ＝２ｐｘ（ｐ ＞０）相减整理得 ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝ ２ｐｙ１＋ｙ２ ＝２ｐ２ｙ０ ＝ ｐｙ０ ． 二、填空题 ９．４．　１０．２． 提示： ９．把点Ｍ（ｘ０，槡２３）代入抛物线方程可得（槡２３） ２ ＝ ４ｘ０，解得ｘ０＝３．所以点Ｍ到抛物线焦点的距离为ｘ０＋１ ＝４． １０．如图２，过Ａ，Ｂ，Ｃ三点分别作 准线的垂线，垂足分别为 Ａ′，Ｂ′，Ｃ′， 则｜ＣＣ′｜＝１２（｜ＡＡ′｜＋｜ＢＢ′｜）＝ １ ２（｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜）＝ １ ２｜ＡＢ｜＝２， 所以点Ｃ到直线４ｘ＋１＝０的距离是 ２． 三、解答题 １１．解：（１）由题意可设抛物线Ｃ的标准方程为ｙ２＝ ２ｐｘ（ｐ＞０）． 因为点Ａ（２，２）在抛物线Ｃ上，所以ｐ＝１． 因此抛物线Ｃ的标准方程是ｙ２ ＝２ｘ． （２）由（１）可得焦点Ｆ的坐标是 １ ２，( )０， 又直线ＯＡ的斜率为 ２２ ＝１， 故与直线ＯＡ垂直的直线的斜率为 －１． 所以所求直线的方程是ｙ＝－１ｘ－( )１２ ， 即２ｘ＋２ｙ－１＝０． １２．解：由题知直线ＡＢ的方程是ｙ＝ 槡２２ ｘ－ ｐ( )２ ， 联立 ｙ２ ＝２ｐｘ， ｙ＝ 槡２２（ｘ－ ｐ ２ { ），得４ｘ２－５ｐｘ＋ｐ２＝０，所以ｘ１＋ ｘ２ ＝ ５ｐ ４，由抛物线定义得｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ＝ ５ｐ ４＋ｐ＝ ９ ２，解得ｐ＝２，所以抛物线的方程为ｙ ２ ＝４ｘ． １３．解：（１）因为圆心Ｍ到点（０，１