第17期 空间向量在立体几何中的应用-【数理报】2021-2022学年高中数学选修2-1(北师大版)

书 高中数学北师大（选修２－１）２０２１年１０月 第１４～１７期参考答案 １４期１版预习自测参考答案 命题及其关系 １．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｃ．　 ４．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ５．（－１，２］． ６．解：（１）逆命题：若方程ｘ２＋２ｘ＋ｑ＝０有实根，则ｑ≤１， 逆命题为真． 否命题：若ｑ＞１，则方程ｘ２＋２ｘ＋ｑ＝０无实根，否命题为 真． 逆否命题：若方程ｘ２＋２ｘ＋ｑ＝０无实根，则ｑ＞１，逆否命题 为真． （２）逆命题：若一个自然数能被２整除，则它的末位数字是 零，逆命题为假． 否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被２整 除，否命题为假． 逆否命题：若一个自然数不能被２整除，则它的末位数字不 是零，逆否命题为真． 充分条件与必要条件 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ａ． ４．充分不必要；　５．ａ＝ｂ＝０． ６．解：因为不等式｜ｘ－ｍ｜＜１的解集为（ｍ－１，ｍ＋１），且 ｐ是ｑ的必要条件，则集合 ｘ １３ ＜ｘ＜{ }１２ 是集合｛ｘ｜ｍ－１ ＜ｘ＜ｍ＋１｝的子集，即 ｍ－１≤ １３， ｍ＋１≥ １２ { ，解得 －１２≤ｍ≤ ４３． 故实数ｍ的取值范围是 －１２，[ ]４３ ． １４期３版参考答案 命题、充分条件与必要条件同步测试题 Ａ组 一、选择题 １～８　ＣＡＡＡ　ＤＢＡＢ 提示： ４．要使ｌｏｇ２（２ｘ－３）＜１，则０＜２ｘ－３＜２，解得 ３ ２ ＜ｘ＜ ５ ２．４ ｘ＞８，即２２ｘ＞２３，解得ｘ＞３２，所以“ｌｏｇ２（２ｘ－３）＜１”是 “４ｘ ＞８”的充分不必要条件． ６．因为ｃｏｓＡ＜０，所以Ａ为钝角，则△ＡＢＣ为钝角三角形，所 以原命题为真，则逆否命题也为真．△ＡＢＣ为钝角三角形，可能是 Ｂ或者Ｃ为钝角，Ａ可能为锐角，得ｃｏｓＡ＞０．所以逆命题为假，则 否命题也为假． ８．若函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ２＋ａｘ＋１）的定义域为Ｒ为假命题， 则ｘ２＋ａｘ＋１＞０恒成立为假命题，即对应的判别式Δ＝ａ２－４ ≥０，解得ａ≤ －２或ａ≥２． 二、填空题 ９．必要不充分；　１０．（－∞，０］． 提示： ９．由“水滴”、“有志”、“坚持”能推出“石穿”、“事成”、“胜 利”，如“水滴”可以推出“石穿”； 由“石穿”、“事成”、“胜利”不能推出“水滴”、“有志”、“坚 持”，如“石穿”可能推出“化学腐蚀”； 综上所述，“石穿”、“事成”、“胜利”是“水滴”、“有志”、“坚 持”必要不充分条件． １０．条件ｐ：ｌｏｇ２（１－ｘ）＜０，所以０＜１－ｘ＜１，解得０＜ｘ ＜１． 条件ｑ：ｘ＞ａ， 若ｐ是ｑ的充分不必要条件， 根据包含关系可得ａ≤０． 则实数ａ的取值范围是（－∞，０］． 三、解答题 １１．解：（１）原命题是真命题． 逆命题：若ｘ２－９ｘ＋１８＝０，则ｘ＝６（假）． 否命题：若ｘ≠６，则ｘ２－９ｘ＋１８≠０（假）． 逆否命题：若ｘ２－９ｘ＋１８≠０，则ｘ≠６（真）． （２）原命题是真命题． 逆命题：若ｘ２ ＞０，则实数ｘ≠０（真）． 否命题：若实数ｘ＝０，则ｘ２≤０（真）． 逆否命题：若ｘ２≤０，则实数ｘ＝０（真）． １２．证明：（充分性） 由２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）＝２（ａｂ＋ａｃ＋ｂｃ）， 即（ａ２－２ａｂ＋ｂ２）＋（ａ２－２ａｃ＋ｃ２）＋（ｂ２－２ｂｃ＋ｃ２）＝０， 所以（ａ－ｂ）２＋（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｃ）２ ＝０， 所以ａ＝ｂ＝ｃ，三角形为等边三角形． （必要性）当三角形△ＡＢＣ是等边三角形时，ａ＝ｂ＝ｃ， 所以ａ２＋ｂ２＋ｃ２ ＝ａｂ＋ａｃ＋ｂｃ． 综上所述，△ＡＢＣ是等边三角形的充要条件是 ａ２＋ｂ２＋ｃ２ ＝ａｂ＋ａｃ＋ｂｃ． １３．解：当ｐ真时，因为函数ｙ＝（１－３ｍ）ｘ在Ｒ上为减函数， 所以０＜１－３ｍ＜１， 所以当ｐ真时，０＜ｍ＜ １３． 当ｑ真时，ｍ≥ｘ ２－１ ｘ ＝ｘ－ １ ｘ，ｘ∈［１，２］， ｙ＝ｘ－１ｘ在［１，２］为单调递增函数，所以ｍ≥ ３ ２． 由ｐ真ｑ假，得 ０＜ｍ＜ １３， ０＜ｍ＜ ３２ { ，即０＜ｍ＜ １３． 综上所述，ｍ的取值范围是 ０，( )１３ ． Ｂ组 一、选择题 １～４　ＤＣＣＡ 提示： １．由题意得逆否命题为“若ｘ≠０且ｙ≠０，则｜ｘ｜＋｜ｙ｜≠０”． ２．根据逆否命题的定义可知：“若ｘ２＋３ｘ－４＝０，则ｘ＝４” 的逆否命题为“若ｘ≠４，则ｘ２＋３ｘ－４≠０”，（Ａ）正确； 当ｘ＝４时，ｘ２－３ｘ－４＝１６－１２－４＝０，充分性成立，（Ｂ） 正确； 原命题的否命题为“若ｍ≤０，则方程 ｘ２＋ｘ－ｍ＝０无实 根”．当 －１４≤ｍ≤０时，Δ＝１＋４ｍ≥０，此时方程ｘ ２＋ｘ－ｍ ＝０有实根，则否命题为假命题；因为否命题与逆命题同真假，所 以逆命题为假命题，（Ｃ）错误； 原命题的逆命题为“若ｍ＝０且ｎ＝０，则ｍ２＋ｎ２＝０”，可 知逆命题为真命题；