第19期 《圆锥曲线与方程》章节测试题-【数理报】2021-2022学年高中数学选修2-1(人教版)

书 高中数学人教 Ａ（选修２－１）２０２１年１１月 第１８～２２期参考答案 １８期１版预习自测参考答案 抛物线及其标准方程 １．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４．ｘ＝－３４；　５．ｘ ２ ＝１６ｙ． ６．解：（１）设抛物线Ｃ的标准方程为ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）． 因为点Ａ（２，２）在抛物线Ｃ上，所以ｐ＝１． 因此，抛物线Ｃ的标准方程是ｙ２ ＝２ｘ． （２）由（１）可得焦点Ｆ的坐标是 １ ２，( )０， 又直线ＯＡ的斜率为 ２２ ＝１， 故与直线ＯＡ垂直的直线的斜率为 －１． 因此，所求直线的方程是ｙ＝－１ ｘ－( )１２ ， 即２ｘ＋２ｙ－１＝０． 抛物线的简单几何性质 １．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．ｙ２ ＝４ｘ；　５．４． ６．解：直线方程为ｙ＝－ｘ＋４， 联立 ｙ＝－ｘ＋４， ｙ２ ＝２ｐｘ{ ， 消去ｙ， 得ｘ２－２（ｐ＋４）ｘ＋１６＝０． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），得ｘ１＋ｘ２ ＝２（ｐ＋４），ｘ１ｘ２ ＝１６， 所以ｙ１ｙ２ ＝（－ｘ１＋４）（－ｘ２＋４）＝－８ｐ． 由已知ＯＡ⊥ＯＢ，可得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ ＝０， 从而１６－８ｐ＝０，得ｐ＝２． 又Δ＝４（ｐ＋４）２－６４＝４×６２－６４＞０， 所以ｐ＝２满足题意． 所以抛物线方程为ｙ２ ＝４ｘ，焦点坐标为Ｆ（１，０）． １８期３版参考答案 抛物线同步测试题 Ａ组 一、选择题 １～８　ＢＣＤＡ　ＢＢＢＢ 提示： ３．由已知条件可得｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝１０，可得弦ＡＢ的 中点到准线的距离为５，且准线方程为ｘ＝－１，故弦的中点到ｙ轴 的距离为５－１＝４，故选（Ｄ）． ４．设 (Ｍ ｙ２２， )ｙ ，Ｍ到坐标原点 Ｏ的距离为 ｙ４４ ＋ｙ槡 ２ ＝ 槡３，解得ｙ２＝２，故ｘ＝ ｙ２ ２ ＝１．则点Ｍ到该抛物线焦点的距离为 ｘ＋ ｐ２ ＝１＋ １ ２ ＝ ３ ２． ５．由曲线上一动点Ｍ到点Ｆ（３，０）的距离与到直线ｘ＝－３ 的距离相等知该曲线为抛物线，其方程为ｙ２ ＝１２ｘ，分别过点 Ａ， Ｂ，Ｐ向抛物线的准线ｘ＝－３作垂线，垂足分别为Ａ１，Ｂ１，Ｐ１，由梯 形的中位线定理知｜Ｐ１Ｐ｜＝ １ ２（｜ＡＡ１｜＋｜ＢＢ１｜）＝ １ ２（｜ＡＦ｜ ＋｜ＢＦ｜）＝２－（－３）＝５，所以｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝１０． ６．①若焦点弦ＡＢ⊥ｘ轴，则ｘ１ ＝ｘ２ ＝ ｐ ２， 则ｘ１ｘ２ ＝ ｐ２ ４，则 ｙ１ｙ２ ｘ１ｘ２ ＝－４； ②若焦点弦ＡＢ不垂直于ｘ轴，则可设ＡＢ： (ｙ＝ｋ ｘ－ｐ )２ ， 联立ｙ２ ＝２ｐｘ，得ｋ２ｘ２－（ｋ２ｐ＋２ｐ）ｘ＋ｐ ２ｋ２ ４ ＝０，则ｘ１ｘ２＝ ｐ２ ４， 则ｙ１ｙ２ ＝－ｐ２，故 ｙ１ｙ２ ｘ１ｘ２ ＝－４．故选（Ｂ）． ７．由于 １｜ＡＦ｜＋ １ ｜ＢＦ｜＝ ２ ｐ， 所以 １ ４ ＋ １ ｜ＢＦ｜＝ ２ ２ ＝１，｜ＢＦ｜＝ ４ ３． ８．抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点为Ｆ（１，０），准线方程为ｌ：ｘ＝－１， 点Ｍ（４，４），由抛物线的定义可知｜ＭＦ｜＝｜ＭＨ｜，所以∠ＦＭＨ的 平分线所在的直线就是线段 ＨＦ的垂直平分线．因为过点 Ｍ（４， ４）作直线ｌ：ｘ＝－１的垂线，垂足为Ｈ，所以点Ｈ的坐标为（－１， ４），所以ＦＨ的斜率ｋＨＦ ＝ ４－０ －１－１＝－２，所以∠ＦＭＨ的平分线 的斜率为ｋ＝ １２． 二、填空题 ９．２；　１０．３． 提示： ９．抛物线ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的准线为ｘ＝－ ｐ２， 又直线ｙ＝ｘ＋１与坐标轴的交点为（－１，０）， 所以 － ｐ２ ＝－１，即ｐ＝２． １０．因为Ａ ７ｐ ２，( )０，所以｜ＡＦ｜＝３ｐ，则｜ＭＦ｜＝ ３ ２ｐ， 所以Ｍ点横坐标为ｐ，代入得ｙ＝±槡２ｐ， Ｓ△ＡＭＦ ＝ １ ２ ×３ｐ×槡２ｐ＝ 槡２７２ ２ ，所以ｐ＝３． 三、解答题 １１．解：（１）因为Ｍ（ｐ，ｐ－１）是Ｃ上的点， 所以ｐ２ ＝２ｐ（ｐ－１）， 因为ｐ＞０，解得ｐ＝２，所以抛物线Ｃ的方程为ｘ２ ＝４ｙ． （２）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝ｋｘ＋２， ｘ２ ＝４ｙ{ ， 得ｘ２－４ｋｘ－８＝０，Δ＝１６ｋ２＋３２＞０ 则ｘ１＋ｘ２ ＝４ｋ，ｘ１ｘ２ ＝－８， 由抛物线的定义知，｜ＡＦ｜＝ｙ１＋１，｜ＢＦ｜＝ｙ２＋１， 则｜ＡＦ｜·｜ＢＦ｜＝（ｙ１＋１）（ｙ２＋１）＝（ｋｘ１＋３）（ｋｘ２＋３）， ＝ｋ２ｘ１ｘ２＋３ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋９， ＝４ｋ２＋９＝１３， 解得ｋ＝±１． １２．解：（１）设抛物线方程为ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），其准线为ｘ＝ － ｐ２，过Ｐ点作抛物线准线的垂线，垂足为Ｈ． 由抛物线的定义知，｜ＰＨ｜＝｜ＰＦ｜． 所以｜ＰＡ｜＋｜ＰＦ｜＝｜ＰＡ｜＋｜ＰＨ｜， 故当Ｈ，Ｐ，Ａ三点共线时，｜ＰＡ｜＋｜ＰＦ｜最小． 所以｜ＰＡ｜＋｜ＰＦ｜的最小值为 ｐ２ ＋２＝４，所以ｐ＝４，