专题04数列求和及综合应用 练案（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

专题04数列求和及综合应用（练）（理） 1【2021·全国高考真题（理）】等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 2．【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 【答案】C 【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 3．【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】B 【解析】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题. 4．【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确； 对于B，由题意可知，，， ∴，，，． ∴，． 根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确； 对于C，， 当时，，C正确； 对于D，，， ． 当时，，∴即； 当时，，∴即，所以，D不正确． 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 5.【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，解得，∴，,故选A． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 6．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则， 解得，，故选C． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 1.(12分)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项. (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和. 解　(1)设等比数列{an}的公比为q，且q≠1， 依题意，2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.2分 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.4分 故{an}的公比为－2.5分 (2)记Sn为{nan}的前n项和. 依题意及(1)知，{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，所以an＝(－2)n－1，7分 所以Sn＝1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n·(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n·(－2)n.9分 两式相减，得 3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n·(－2)n ＝－n·(－2)n，11分 所以Sn＝－.12分 2.(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和. 解　(1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝ 所以b1＝a2＝a1＋1＝2，