专题04数列求和及综合应用 讲案 （理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

专题04　数列求和及综合应用（讲）（理） . 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下. 1.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　A 解析　法一　因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得 两式相除， 得q2＝，所以或 所以S6＝＝7.故选A. 法二　易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.故选A. 2.(2020·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n. (1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 解　(1)由a1＝3，an＋1＝3an－4n，得a2＝5，a3＝7. 猜想an＝2n＋1.证明如下： 由an＋1＝3an－4n，得an＝3an－1－4n＋4(n≥2)， 则an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]. 又a1＝3，知a1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0， 则an＝2n＋1. (2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n， 所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.① 从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.② ①－②得 －Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1， 所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2. 3.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1. 解　(1)设{an}的公比为q(q>1). 由题设得解得或(舍去). 所以{an}的通项公式为an＝2n. (2)由于(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1×2n×2n＋1 ＝(－1)n－122n＋1， 故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1 ＝＝－(－1)n. 4.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【解析】（1）设的公比为，由题设得 即. 所以 解得（舍去），. 故的公比为. （2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以 ， . 可得 所以. 5．【2021年全国高考甲卷数学（文）】记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 【答案】证明见解析. 【分析】 先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证. 【详解】 ∵数列是等差数列，设公差为 ∴， ∴， ∴当时， 当时，，满足， ∴的通项公式为， ∴ ∴是等差数列. 【点睛】 在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况. 6．【2021年全国高考乙卷数学（文）】设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】 利用等差数列的性质及得到，解方程即可； 利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. 【详解】 因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. 【点晴】 本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. 7．【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项. （2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求. 【详解】 （1）由题设可得 又，， 故，即，即 所以为等差数列，故. （2）设的前项和为，则， 因为， 所以 . 【点睛】 方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题. 8．【2021年全国新高考II卷数学】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2