第十三章 三角恒等变换-2022高中数学学业水平模拟测试

第十三章 三角恒等变换 考点精讲 1.cosαcosβ+sinαsinβ cosαcosβ-sinαsinβ sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ tanα+tanβ 1-tanαtanβ tanα-tanβ 1+tanαtanβ 2.2sinαcosα cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 2tanα 1-tan2α 3. 1+cos2α 2 1-cos2α 2 典例剖析 典例分析1 C 实战演练1 D 典例分析2 解:(1)f(x)=cos2x+1+ 3sin2x+m=2sin π 6+2x( )+m+1,最小正周期为π. (2)当x∈ 0, π 6[ ] 时, π 6≤2x+ π 6≤ π 2 , fmin(x)=f(0)=2sin π 6+m+1=m+2 , fmax(x)=f π 6( )=2sin π 6+ π 3( )+m+1=m+3. 依题有 m+2>-4, m+3<4{ ⇒-6<m<1,∴m∈(-6,1). 实战演练2 解:(1)由f(x)=2sin(x+π3 ),∴f( π 3 )=2sin( 2π 3 )= 3; (2)∵sinθ= 3 5 ,θ∈ ( π2,π),∴cosθ=- 4 5 ,∴f(θ-π6 ) =2sin(θ- π 6+ π 3 ) =2sin(θ+ π 6 ) = 3sinθ+cosθ= 3× 3 5+ (- 4 5 )= 33-4 5 . 典例分析3 B 实战演练3 172 50 【解析】 ∵α为锐角且cosα+ π 6( )= 4 5 ,∴sinα+ π 6( )= 3 5. ∴sin2α+ π 12( )=sin2α+ π 6( )- π 4[ ]=sin2α+ π 6( )cos π 4-cos2α+ π 6( )sin π 4 = 2sinα+ π 6( )cosα+ π 6( )- 2 2 2cos 2 a+ π 6( )-1[ ]= 2× 3 5× 4 5- 2 2 2× 4 5( ) 2 -1[ ]=12225 - 72 50 = 172 50 . 过关检测 1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.B 9.A 10.B 11.1 12.- 3 3 13.a≥2 14. 3 15.- 59 72 16.解:∵ π4-x( )+ π 4+x( )= π 2 ,∴cos π4+x( )=sin π 4-x( )= 5 13 , ∵0<x< π 4 ,∴0< π 4-x< π 4 ,∴cos( π 4-x )= 12 13. 而cos2x=sin π2-2x( )=2sin π 4-x( )cos π 4-x( )= 120 169 ,∴ cos2x cos π4+x( ) = 120 169 5 13 = 24 13. 17.(1)f π 3( )=- 9 4 (2)f(x)的最大值为6 f(x)的最小值为- 7 3 —92— 18.解:(1)函数f(x)=sin3x+ π 4( ),令 π 2+2kπ≤3x+ π 4≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z, 得:2 3kπ+ π 12≤x≤ 5π 12+ 2 3kπ ,k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间为 2 3kπ+ π 12 ,5π 12+ 2 3kπ[ ],k∈Z. (2)由f α 3( )=cos2α,即sinα+ π 4( )=cos2α, 则 2 2 (sinα+cosα)=cos2α-sin2α, 因为α是锐角,所以cosα+sinα≠0. 所以cosα-sinα= 2 2 ,故得sinα-cosα=- 2 2. 19.解:(1)因为a=b,则sinx=cosx= 2 2 ,所以tanx= sinx cosx=1. (2)f(x)=a·b+2= 2 2sinx+ 2 2cosx+2=sinx+ π 4( )+2, 因为sinx+ π 4( )∈[-1,1],所以f(x)的值域为[1,3]. 20.解:(1)由题设图像知,周期T=211π12- 5π 12( )=π,所以ω= 2π T=2. 因为点 5π 12 ,0( ) 在函数图像上, 所以Asin2× 5π 12+φ( )=0,即sin 5π 6+φ( )=0. 又因为0<φ< π 2 ,所以5π 6< 5π 6+φ< 4π 3. 从而 5π 6+φ=π ,即φ= π 6. 又点(0,1)在函数图像上,所以Asin π 6=1 ,解得A=2. 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+ π 6( ) . (2)g(x)=2sin2x- π 12( )+ π 6[ ]-2sin2x+ π 12( )+ π 6[ ]=2sin2x-2sin2x+ π 3( ) =2