第十五章 数列-2022高中数学学业水平模拟测试

所以T= 2π 2=π. 又因为sin2x- π 3( )∈[-1,1],所以f(x)的值域为[-2,2]. (2)因为f(x)在x=A 处取得最大值,所以sin2A- π 3( )=1. 因为0<A< 2 3π ,所以- π 3<2A- π 3<π , 故当2A- π 3= π 2 时,f(x)取到最大值,所以A= 5 12π ,所以C= π 4. 由正弦定理,知 3 sin π 3 = c sin π 4 ⇒c= 2. 又因为sinA=sin π4+ π 6( )= 2+ 6 4 ,所以S△ABC= 1 2bcsinA= 3+ 3 4 . 第十五章 数 列 考点精讲 1.(1)N* (2)解析法 列表法 图像法 递推公式法 前n 项和法 2.(2)an+1-an=d(常数) 2an+1=an+ an+2(n∈N*) an=kn+b(k,b 为常数) (3)等差 (4)am+an=ap+aq 等差 n2d (5)na1+ n(n-1) 2 d n(a1+an) 2 3. (3)± ab (4)am·an=ap·aq 等比 4.公式法 分组求和法 裂项相消法 错位相减法 倒序 相加法 典例剖析 典例分析1 (1)解:①a1=S1=12+1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,∴an= 2n,n∈N+. ②∵bn= 1 2( ) 2n ,∴Tn= 1 2( ) 2 + 12( ) 4 + 12( ) 6 +…+ 12( ) 2n = 1 4 1- 1 4( ) n [ ] 1- 1 4 = 1 3 (1-4-n). (2)①an=n ②62 (3)A 实战演练1 解:(1)数列{an}的通项公式为an=3+2(n-1)=2n+1; (2)由(1)和anbn+1-bn+1=nbn,得bn+1= bn 2 , 因此数列{bn}是首项为1,公比为 1 2 的等比数列. 记{bn}的前n 项和为Sn,则Sn= 1- 12( ) n 1- 1 2 =2- 1 2n-1. 典例分析2 (1)联想数列:2,4,8,16,…可得an=2n+1. (2)因为a1=1+2,a2=1+2+3,a3=1+2+3+4,a4=1+2+3+4+5,所以an= (n+1)(n+2) 2 . (3)因为a1=(-1)1× 2 2 ,a2=(-1)2× 4 3 ,a3=(-1)3× 8 4 ,a4=(-1)4× 16 5 ,所以an=(-1)n× 2n n+1. 实战演练2 (1)a1=1,an=2n-1 (2)S5=46 典例分析3 (1)解:①∵q2= a3 a1=16 ,解得q=4或q=-4(舍去),∴q=4,∴an=a1qn-1=4×4n-1=4n. —23— ②∵bn=log4an=n,∴数列{bn}是首项b1=1,公差d=1的等差数列,∴Sn= n(n+1) 2 . ③解法1:由②知,Sn= n2+n 2 , 当n=1时,Sn 取得最小值Smin=1. 要使对一切正整数n 及任意实数λ有y≤Sn 恒成立,即-λ2+4λ-m≤1,即对任意实数λ,m≥-λ2+4λ-1恒成 立,∵-λ2+4λ-1=-(λ-2)2+3≤3,所以m≥3,故m 的取值范围是[3,+∞). 解法2:由题意得 m≥-λ2+4λ- 1 2n 2- 1 2n 对一切正整数n 及任意实数λ 恒成立,即 m≥-(λ-2)2- 1 2 n+ 1 2( ) 2 + 33 8 ,因为λ=2,n=1时,-(λ-2)2- 1 2 n+ 1 2( ) 2 + 33 8 有最小值3,所以 m≥3,故 m 的取值范围是 [3,+∞). (2)B (3)D 实战演练3 B 实战演练4 A 过关检测 1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.A 9.B 10.6 11. n2 2+ n 2+1 12.32 13.an= 2,n=1 6n-5,n≥2{ 14.2 n 15.(1)证明:∵an+Sn=n①,∴an+1+Sn+1=n+1②. ②-①得an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,∴ an+1-1 an-1 = 1 2 ,∴{an-1}是等比数列. 又a1+a1=1,∴a1= 1 2 ,∵首项c1=a1-1,∴c1=- 1 2 ,公比q= 1 2. 又cn=an-1,∴{cn}是以- 1 2 为首项,以1 2 为公比的等比数列. (2)解:由(1)可知cn= - 1 2( )· 1 2( ) n-1 =- 12( ) n ,∴an=cn+1=1- 1 2( ) n . ∴当n≥2时,bn=an-an-1=1- 1 2( ) n - 1- 12( ) n-1 [ ]= 12( ) n-1 -