第五章 点、直线、平面之间的位置关系-2022高中数学学业水平模拟测试

第五章 点、直线、平面之间的位置关系 考点精讲 一、1.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一 个平面 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 两相交直线可确定一个平 面 两条平行直线可确定一个平面 直线和直线外一点可确定一个平面 2.(1)相交 平行 异面 (2)0, π 2( ] 4.α∥β 5.平行于同一条直线的两条直线 6.相等或互补 二、1.(1)一条 (2)任一平面 2.(1)相交 (2)交线 三、1.(1)任意一条直线 (2)相交直线 2.(2)垂直于棱 3.(1)直二面 (2)另一个平面的 (3)交线 4.锐角 典例剖析 典例分析1 D 【解析】由m,n 是不同的直线,α,β,γ 是不同的平面知,对于A,若m∥α,n⊂α,则 m 与n 平行或 异面,故A错误;对于B,若m∥β,n∥β,m⊂α,n⊂α,则α与β相交或平行,故B错误;对于C,若α⊥β,m⊥β,则 m∥α 或m⊂α,故C错误;对于D,若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n⊂γ,则由面面垂直的性质得m⊥n,故D正确.故选D. 实战演练1 4 实战演练2 证明:用反证法. 设EF 与BD 不是异面直线,则EF 与BD 共面, 从而DF 与BE 共面,即AD 与BC 共面, ∴A、B、C、D 在同一平面内, 这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾. 故直线EF 与BD 是异面直线. 典例分析2 D 【解析】 结合长方体中的线面位置关系进行思辨,将符号语言转换成空间位置关系,答案选D. 实战演练3 B 典例分析3 (1)证明:∵ABCD 是矩形,∴BC⊥CD. 已知A1 点在平面BCD 上的射影O 刚好落在边CD 上, 即A1O⊥平面BCD,而BC⊂平面BCD⇒A1O⊥BC, ∴BC 垂直于平面A1CD 内的两条相交直线CD,A1O ⇒BC⊥平面A1CD, A1D 在平面A1CD 内⇒BC⊥A1D. (2)证明:由(1)得 A1D⊥BC,又由已知得 ∠BAD=∠BA1D=90°⇒A1D⊥A1B, ∴A1D 垂直于平面A1BC 内的两条相交直线BC,A1B ⇒A1D⊥平面A1BC. 又A1D⊂平面A1BD ⇒平面A1BC⊥平面A1BD. (3)解:过点O 作OE⊥BD 于E 点,连接A1E, ∵A1O⊥平面BCD,BD⊂平面BCD⇒A1O⊥BD, A1O∩OE=O⇒BD⊥平面A1OE,A1E⊂平面A1OE⇒BD⊥A1E, ∴∠A1EO 是二面角A1-BD-C 的平面角. ∵在Rt△BA1D 中,A1E= 12 5a ,由(2)知,A1D⊥平面A1BC, ∵A1C⊂平面A1BC,∴A1D⊥A1C, 在Rt△CA1D 中,A1O= CA1·DA1 CD = 3a· 7a 4a = 37 4a , ∴在Rt△A1EO 中,sin∠A1EO= A1O A1E= 57 16. 实战演练4 解:(1)证明:在图1中,连接CE, 由题意得CE=BC=BE=AE=AB=2.∴四边形ABCE 是菱形, 连接AC,交BE 于O,则AC⊥BE,在图2中,A1O⊥BE,OC⊥BE, ∵A1O∩OC=O,∴BE⊥平面A1OC, ∵A1C⊂平面A1OC,∴A1C⊥BE. —01— 图1 → 图2 (2)解:在图2中,延长BE、CD,设BE∩CD=G,连接A1G, ∵G∈平面A1BE,G∈平面A1CD,A1∈平面A1BE,A1∈平面A1CD, ∴A1G 是平面A1BE 和平面A1CD 的交线, ∵平面A1BE⊥平面BCDE,OC⊥BE,平面A1BE∩平面BCDE=BE, ∴OC⊥平面A1BE, 又A1G⊂平面A1BE,∴OC⊥A1G, 作OH⊥A1G,垂足为 H,连接CH, 又OH∩OC=O,∴A1G⊥平面OCH, 又CH⊂平面OCH,∴A1G⊥CH, ∴∠OHC 是平面A1BE 与平面A1CD 所成锐二面角的平面角, 由(1)知,△A1BE,△BCE 是等边三角形,∴OC= 3, ∵△GDE∽△GCB,∴ DE CB= GE GB= 1 2 ,解得GE=2, ∴A1B=A1E=BE=GE=2, ∴∠GA1E=∠A1GB=30°,∠BA1G=90°,∴A1B⊥A1G, ∴△OHG∽△BA1G,∴ OH BA1= OG BG= 3 4 ,解得OH= 3 2 , 在Rt△COH 中,CH= OC2+OH2= 3+ 9 4 = 21 2 , ∴cos∠OHC= OH CH= 3 2 21 2 = 21 7 , ∴平面A1BE 与平面A1CD 所成锐二面角的余弦值为 21 7 . 典例分析4 解:(1)由题意知,E 为B1C 的中点, 又∵D 为AB1 的中点,∴DE 是△B1AC 的中位线,∴DE∥AC. ∵