2022届高考数学二轮复习解答题分类刷题（5）平面解析几何

2022届高考数学二轮复习解答题分类刷题（5） 平面解析几何 1.已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，椭圆C的离心率为 ，A，B是椭圆C上的两点，点M满足 . （1）求椭圆C的方程； （2）若点M在圆 上，O为坐标原点，求 的取值范围. 2.已知抛物线 的焦点为F，且F与圆 上点的距离的最小值为4. （1）求p. （2）若点P在M上，PA、PB是C的两条切线，A、B是切点，求 面积的最大值. 3.已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别是椭圆C的左、右焦点，P是C上任意一点，若 面积的最大值为 . (1)求椭圆C的方程； (2)直线 与椭圆C在第一象限的交点为M，直线 与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于P，Q两点，求证： 始终为等腰三角形. 4.已知直线 与双曲线 交于A，B两点. （1）若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数a的值. （2）是否存在实数a，使A，B两点关于直线 对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 5.已知椭圆 的离心率为 ，且过点 . (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且 ， ，D为垂足.证明:存在定点Q，使得 为定值. 6.如图，已知抛物线 的焦点为 ，抛物线C的准线l与x轴的交点为M，过点M且斜率为k的直线 交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于D，E两点. （1）求抛物线C的方程； （2）若 ，写出 关于k的函数解析式，并求实数 的取值范围. 7.已知抛物线 的焦点为F，直线 ，点 ，点M，N在抛物线C上，直线l与直线MN交于点Q. （1）求 的最小值； （2）若 ， ，求 的值. 8.已知抛物线 上在第一象限内的点 到焦点F的距离为4. （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线，它们与抛物线的另一个交点分别为点C，D.求证：直线CD的斜率为定值. 9.已知动点P与双曲线 的两个焦点 的距离之和是定值，且 的最小值是 . （1）求动点P的轨迹方程； （2）若已知点 ，M，N在动点P的轨迹上且不重合，且 ，求实数 的取值范围. 10.已知 分别为椭圆 的左、右顶点，B为椭圆C的上顶点，点 到直线 的距离为 ，椭圆C过点 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l过点 ，且与x轴垂直，P，Q为直线l上关于x轴对称的两点，直线 与椭圆C相交于异于 的点D，直线DQ与x轴的交点为E，当 与 的面积之差取得最大值时，求直线 的方程. 答案以及解析 1.答案：（1） ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 所以 . 因为椭圆C的离心率为 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 所以椭圆C的方程为 . （2）由题意知直线AB的斜率存在. 设直线AB的方程为 ， ， ， 由 可得 ， 所以 ， ， 因为 ，所以M为AB的中点， 又点M在圆 上， 所以 . 因为M为AB的中点，所以 ， ， 将点M的坐标代入 ， 化简可得 ， 所以 . 令 ， 则 ， ， 令 ， ， 则 ， 因为 在 内单调递增， 所以 ， 即 . 所以 . 2.答案：（1）点 到圆M上的点的距离的最小值为 ，解得 . （2）由（1）知，抛物线的方程为 ，即 ，则 ， 设切点 ， ，直线PA的方程为 ，又点 在抛物线上，所以 ，所以 ，同理可得， ， 联立 从而得到 . 设 ， 联立 消去y并整理可得 ， 所以 ，即 ，且 ， ， 所以 . 因为 ，点P到直线AB的距离 ， 所以 ①， 又点 在圆 上，代入得 ，代入①得， ， 而 ， 所以当 时， . 3.答案：(1)由 ， 可得 ， 由 面积的最大值为 知， ，解得 ， ， . 故椭圆C的方程为 . (2)证明：联立 可得 . 联立 消去y得 直线 与椭圆C交于A，B两点， ， 且 . 设 ， ，直线MP，MQ的斜率分别为 ， ， 则 ， ， 又 ， ， ， ， ， 由此可知 ， 始终为等腰直角三角形. 4.答案：（1）由 ，得 . 由题意，得 ， 即 且 设 ，则 . 因为以AB为直径的圆过坐标原点，则 ，即 . 而 ， 则 ， 解得 且满足（*）式. 所以实数a的值为±1. （2）假设存在实数a，使A，B两点关于直线 对称， 则直线 与 垂直，所以 ， 即直线AB的方程为 . 将 代入 ，得 ， 所以线段AB中点的横坐标为2，纵坐标为 . 但AB的中点（2，-3）不在直线 上， 即不存在实数a，使A，B两点关于直线 对称. 5.答案：(1)由题设得 ， ，解得 ， . 所以C的方程为 . (2)设 ， . 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为 ，代入 得 . 于是 ， .① 由 知 ，故 ， 可得 . 将①代入上式可得 . 整理得 . 因为 不在直线MN上，所以 ，故 ， . 于是MN的方程为 . 所以直线MN过点