2022届高考数学二轮复习解答题分类刷题（6）导数及其应用

2022届高考数学二轮复习解答题分类刷题 导数及其应用 1.已知函数 . （1）若 是奇函数，且有三个零点，求实数b的取值范围； （2）若 在 处有极大值 ，当 时，求出 的值域. 2.已知函数 ， 是 的导数(e为自然对数的底数). （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程. （2）若当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围. 3.已知函数 . （1）当 时，试判断函数 的单调性； （2）若 ，且当 时， 恒成立， 有且只有一个实数解，证明： . 4.已知函数 . (1)讨论 的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且 ，证明： . 5.已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）求证：当 时，曲线 上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点. 6.已知函数 . （1）设 是函数 的极值点，求m的值，并求 的单调区间； （2）若对任意的 ， 恒成立，求m的取值范围. 7.已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行. （1）求函数 的极值； （2）若 ， ，求实数m的取值范围. 8.已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）若 ， 是方程 的两个不同的实数根，求证： ． 9.已知函数 ，曲线 在点 处的切线平行于直线 . （1）求函数 的单调区间. （2）设直线l为函数 的图象在点 处的切线，问：在区间 上是否存在 ，使得直线l与曲线 也相切？若存在，求出满足条件的 的个数；若不存在，请说明理由. 10.已知函数 . （1）若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围； （2）当 时，讨论函数 的零点个数，并给予证明. 答案以及解析 1.答案：（1）因为 是定义域为R的奇函数， 所以 ，且 ， 所以 ，所以 . 当 时， ， 此时 在R上单调递减， 在R上只有一个零点，不符合题意. 当 时， ，解得 . 因为 在R上有三个零点， 所以 且 . 又 ， ， 恒成立， 所以 . 综上，实数b的取值范围为 . （2）由题意，得 ， ， ， 解得 或 当 ， 时， ， ， 令 ，得 ， 令 ，得 或 ， 所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 在 处有极小值，与题意不符. 当 ， 时， ， . 令 ，得 ； 令 ，得 或 ， 所以函数 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 在 处有极大值，符合题意， 故 ， . 又因为 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. 又 ， ， ， 所以函数 在区间 上的值域为 . 2.答案：(1)当 时， ， ， 则 ， ， 所以切线方程为 ，即 . (2)当 时， 恒成立，即 在 上恒成立， 设 ，则 ， ， ①当 时， ，此时 ， 则 ，可知 在 上单调递减， 则 ，所以 在 上单调递减， 所以 ，即 恒成立，所以 满足题意， ②当 时，令 ，解得 ， 当 时， ，则 单调递增，此时 ， 则 在 上单调递增，所以 ， 即当 时， ，即 不恒成立，可知 不合题意， 综上所述， . 3.答案：（1）当 时， ， 则 ， 所以当 时， ，此时函数 单调递增； 当 时， ，此时函数 单调递减. 综上，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. （2）由题意可得 ，令 ，解得 . 因为 ，所以 ， 所以 在 上有唯一零点 . 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减. 所以 . 因为 在 上恒成立，且 有且只有一个实数解，所以 即 消去a并整理得 . 令 ，则 ， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增， 又 ，所以 . 又 ，且函数 在 上单调递增， 所以 . 4.答案：（1）由题可得 ， 所以当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 在 单调递增， 在 单调递减. （2）由 ，得 ， 即 . 令 ， ，则 ， 为 的两根，其中 . 不妨令 ， ，则 ， 先证 ，即证 ， 即证 . 令 ， 则 . 因为 ，所以 . 所以在 内， 恒成立，所以 单调递增， 所以 ，所以 ，所以 得证. 同理，不妨令 ， ，则 .要证 ， 即证 . 令 ， ， 则 ，令 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 又 ， ，且 ， 故 ， ， ， 所以 恒成立，所以 得证， 所以 . 5.答案：（1） ， 设 ， ①当 时， 在 ， 上大于零，在 小于零， 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. ②当 时， （当且仅当 ， 时， ）， 所以 在 上单调递增. ③当 时， 在 上大于零，在 上小于零， 所以 在 上单调递增，在 单调递减. ④当 时， 在 上大于零，在 上小于零， 所以 在 单调递增，在 上单调递减. （2）曲线 在点 处的切线方程为 ， 切线方程和 联立，可得 ， 设 ， 则 ， 当 时，若 ，则 ，若 ，则