2022届高考数学二轮复习解答题分类刷题（3）立体几何

2022届高考数学二轮复习解答题分类刷题（3） 立体几何 1.如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为O，且 平面 ， （1）证明： ； （2）若 ， ， ，求三棱柱 的高. 2.如图，在三棱锥 中， ， ，O为AC的中点. （1）证明： 平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且二面角 为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值. 3.如图，矩形ABCD和梯形ABEF所在的平面垂直， ， ， ， ， . （1）求证： ； （2）若直线AC与平面ABEF所成的角等于 ，求钝二面角 的余弦值. 4.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形， ， ，且面DAF与面ABEF所成的角和面CBE与面ABEF所成的角都是60°. （1）证明：平面 平面EFDC； （2）求面BCE与面ABCD所成角的余弦值. 5.在 中， ， ， ，以AC的中线BD为折痕，将 沿BD折起，构成二面角 ，在平面BCD内作 ，且 ，连接DE，AE，AC，如图所示. （1）求证： 平面ABD； （2）若二面角 的大小为 ，求二面角 的余弦值. 6.如图，等腰梯形BCDP中， ， ，垂足为点A， ，且 .沿AB把 折起到 的位置，使 . （1）求证： 平面 . （2）线段 上是否存在点M，使得 平面 ？若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由. 7.如图，在四棱柱 中，侧棱 底面ABCD， ， ， ， . （1）求证： 平面 ； （2）若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求k的值. 8.已知直三棱柱 中，侧面 为正方形. ，E，F分别为AC和 的中点， ， （1）求三棱锥 的体积； （2）已知D为棱 上的点，证明： . 9.已知四棱锥 的底面ABCD是直角梯形， ， ， ， ，E为CD的中点， . （1）证明：平面 平面ABCD； （2）若 ，PC与平面ABCD所成的角为 ，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得 平面PCD？若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由. 10.如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱形， ， ，平面 平面ABCD，F为棱PD的中点. （1）在棱AB上是否存在一点E，使得 平面PCE？并说明理由； （2）当二面角 的余弦值为 时，求直线PB与平面ABCD所成的角. 答案以及解析 1.答案：（1）连接 ，则O为 与 的交点.因为侧面 为菱形，所以 ，因为 平面 ，所以 ， ，故 平面ABO，因为 平面ABO，故 . （2）如图，作 ，垂足为D，连接AD，作 ，垂足为H，由题意知 ， ， 故 平面AOD，所以 ， 又 ，所以 平面ABC， 因为 ，所以 为等边三角形，又 ，所以 . 由于 ，因此 ， 由 ，且 ，得 . 又O为 的中点，所以点 到平面ABC的距离为 ，故三棱柱 的高为 . 2.答案：（1）证明：因为 ，O为AC的中点，所以 ，且 . 连接OB. 因为 ，所以 为等腰直角三角形，且 ， . 由 知 . 由 ， ， 知 平面ABC. （2）如图，以O为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz. 由题意得 ， ， ， ， ， .易得平面PAC的一个法向量为 . 设 ，则 . 设平面PAM的法向量为 . 由 ， ， 得 可取 ， 所以 . 由已知可得 ， 所以 ， 解得 （舍去）或 ， 所以 . 又 ，所以 . 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 . 3.答案：（1）证明：在 中， 由正弦定理可得 . 所以 ， 因此 ，即 . 又因为平面 平面ABEF， 平面 平面 ， 所以 平面ABCD， 因为 平面ABCD， 所以 . （2）由于ABCD是矩形，所以 ， 又因为平面 平面ABEF， 平面 平面 ， 所以 平面ABEF， 故直线AC与平面ABEF所成的角为 ， 所以 . 因为 ，所以 . 易得 ，所以 ， . 以B为原点，BA，BF，BC所在直线分别为x轴， y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， 设平面DCF的一个法向量为 ， 则有 取 ，得 ， ，所以 . 设平面CFE的一个法向量为 ， 则有 取 ， 得 ， ，所以 . 所以 ， 故钝二面角 的余弦值为 . 4.答案：（1）证明： 四边形ABEF为正方形， . ， ， ， 平面EFDC， 平面EFDC， 平面EFDC， 平面ABEF， 平面 平面EFDC. （2）由 ， ，可得 为面DAF和面ABEF所成角的平面角. 四边形ABEF为正方形， ， ， 又 平面EFDC， 平面EFDC. 平面EFDC， ， 可得 为面CBE和面ABEF所成角的平面角， . ， 平面EFDC， 平面EFDC， 平面EFDC， 平面 平面 ， 平面ABCD， ， ，