第18期《几何证明初步》章末检测卷（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年上学期八年级上册初二数学（青岛版）

书书书 １９． （２０２１ 大 连 甘 井 子 区 期 末 ， 本 题 满 分 ７ 分 ） 如 图 １３ ，ＣＥ 是 △ ＡＢＣ 的 外 角 ∠ ＡＣＤ 的 平 分 线 ，且 ＣＥ 交 ＢＡ 的 延 长 线 于 点 Ｅ． 求 证 ：∠ ＣＡＢ ＝ ∠ Ｂ ＋ ２∠ Ｅ． ２０． （２０２１ 广 东 模 拟 ， 本 题 满 分 ７ 分 ） 如 图 １４ ，在 △ ＡＢＣ 中 ，ＢＤ ，ＡＥ 分 别 是 Ａ Ｃ ，ＢＣ 边 上 的 高 ，它 们 相 交 于 点 Ｆ ，且 ＡＦ ＝ ＢＣ．求 证 ：△ ＡＢＤ 是 等 腰 三 角 形 ． ２１． （２０２０ 西 安 雁 塔 区 期 末 ， 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １５ ，在 △ ＡＢＣ 中 ， ∠ ＢＡＣ ＝ ９０°，ＢＥ 平 分 ∠ ＡＢＣ ，ＡＭ ⊥ ＢＣ 于 点 Ｍ ，交 ＢＥ 于 点 Ｇ ， ＡＤ 平 分 ∠ Ｍ ＡＣ ，交 ＢＣ 于 点 Ｄ ，交 ＢＥ 于 点 Ｆ．求 证 ：线 段 ＢＦ 垂 直 平 分 线 段 Ａ Ｄ ． ２２．（ 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １６ ，ＢＤ 为 △ ＡＢＣ 的 角 平 分 线 ， 若 ∠ ＡＢＣ ＝ ６０°，∠ ＡＤ Ｂ ＝ ７０°，点 Ｅ 为 线 段 ＢＣ 上 一 点 ， 当 △ Ｄ ＣＥ 为 直 角 三 角 形 时 ，求 ∠ ＢＤ Ｅ 的 度 数 ． ２３． （２０２１ 南 阳 期 末 ， 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １７ ，△ ＡＢＣ 绕 点 Ａ 按 逆 时 针 方 向 转 动 ， 得 到 △ ＡＢ′Ｃ′， 转 角 记 为 ∠ α （０° ＜ ∠ α ＜ ３６０°）． 已 知 ∠ Ｂ ＡＣ ＝ ７０° ，∠ Ｃ ＝ ５０°． （１ ） 求 ∠ Ｂ′ 的 度 数 ； （２ ） 若 ∠ α ＝ ２０ °，ＡＢ′ 与 ＢＣ 交 于 点 Ｄ ，Ｂ′Ｃ′ 分 别 与 ＢＣ ，ＡＣ 交 于 点 Ｏ ，Ｅ ，求 ∠ ＢＯ Ｂ′ 和 ∠ Ｏ ＥＣ 的 度 数 ； （３ ） 当 ∠ α ＝ １３ ∠ ＢＡＣ′ 时 ，求 此 时 ∠ α 的 度 数 ； （４ ） 当 Ｂ ′Ｃ′∥ ＡＢ 时 ，∠ α ＝ ． ２４． （ 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １８ ， 已 知 ＡＢ ∥ ＣＤ ， 点 Ｅ ，Ｆ 分 别 在 直 线 ＡＢ ，ＣＤ 上 ，ＰＦ 交 ＡＢ 于 点 Ｇ． （１ ） 如 图 １８ － ① ，直 接 写 出 ∠ Ｐ ，∠ ＰＥＢ 与 ∠ ＰＦＤ 之 间 的 数 量 关 系 ． （２ ） 如 图 １８ － ② ，ＥＱ ，ＦＱ 分 别 为 ∠ ＰＥＢ 与 ∠ ＰＦＤ 的 平 分 线 ，且 交 于 点 Ｑ ，试 说 明 ∠ Ｐ ＝ ２∠ Ｑ ． （３ ） 如 图 １８ － ③ ，若 ∠ ＢＥＱ ＝ １３ ∠ ＰＥＢ ，∠ Ｑ ＦＤ ＝ １３ ∠ ＰＦＤ ，（２ ） 中 的 结 论 还 成 立 吗 ？若 成 立 ， 请 说 明 理 由 ； 若 不 成 立 ， 请 求 出 ∠ Ｐ 与 ∠ Ｑ 的 数 量 关 系 ． !"# $ %&!' $ ()*+,-./01 !"# $ %&!' $ ()2+,-./01 ! " # $ % & ' ( ) * ! " + , ! " # $ % ! ! # $ ! $ & ! " % ' ' ! ! ! $ $ % " ' ! % & " ' $ % ! ( ! % ' " ' ! % " $ % ! ( ) * ! % ( ! " # % ' ( $ ) ! + , % ' ( $ ) ! " , % ' ( $ ) ! " , - - 书 “ＨＬ”可以判定直角三角形全等，但是一定要注意 它不是判定直角三角形全等的惟一方法，前面学习的判 定一般三角形全等的方法都适用于直角三角形．下面举 例加以说明． 一、运用“ＨＬ”判定直角三角形全等 例１　（２０２０泰安岱岳区期 末）如图１，在 △ＡＢＣ中，ＡＣ＝ ＢＣ，直线ｌ经过顶点Ｃ，过Ａ，Ｂ两 点分别作 ｌ的垂线 ＡＥ，ＢＦ，Ｅ，Ｆ 为垂足，ＡＥ＝ＣＦ，求证：∠ＡＣＢ ＝９０°． 分析：先利用“ＨＬ”证明 △ＡＣＥ和 △ＣＢＦ全等，再 根据全等三角形的性质和平角定义可得出结论． 证明：根据题意，得∠ＡＥＣ＝∠ＣＦＢ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＣＥ和Ｒｔ△ＣＢＦ中， 因为ＡＣ＝ＣＢ，ＡＥ＝ＣＦ， 所以Ｒｔ△ＡＣＥ≌Ｒｔ△ＣＢＦ（ＨＬ）． 所以∠ＥＡＣ＝∠ＦＣＢ． 因为∠ＥＡＣ＋∠ＡＣＥ＝９０°， 所以∠ＡＣＥ＋∠ＦＣＢ＝９０°． 所以∠ＡＣＢ＝１８０°－（∠ＡＣＥ＋∠ＦＣＢ）＝９０°． 二、运用“ＡＳＡ”或“ＡＡＳ”判定直角三角形全等 例２　（２０２０黑龙江）如图 ２，Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＥＤＦ中，∠Ｂ ＝∠Ｄ，在不添加任何辅助线的