第17期 5.5三角形内角和定理5.6几何证明举例（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年上学期八年级上册初二数学（青岛版）

书 一、“三角形的外角与它 相邻的内角互补”的应用 例１　（２０２１泌阳期末） 在三角形的三个外角（一个 顶点只取一个外角）中，钝角 的个数至少是 （　　） Ａ．３　　　　Ｂ．２ Ｃ．１　 Ｄ．０ 分析：三角形的内角和 是１８０°，在这三个角中最多 有一个钝角，最少有 ２个锐 角，因而外角中最多有一个 锐角，至少有两个钝角． 解：因为三角形的每一 个外角都与相邻的内角互 补，所以当相邻的内角是锐 角时，这个外角才是钝角．又 因为三角形中最少有２个锐 角，所以三角形的三个外角 中至少有两个钝角．故选Ｂ． 二、“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 的内角”的应用 例２　（２０２１沈丘期末）如 图１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ为ＢＣ边 上的中线，ＡＥ为 ＢＤ边上的中 线，ＡＦ为ＤＣ边上的中线，则下 列结论错误的是 （　　） Ａ．∠１＞∠２＞∠３＞∠Ｃ Ｂ．ＢＥ＝ＥＤ＝ＤＦ＝ＦＣ Ｃ．∠１＞∠４＞∠５＞∠Ｃ Ｄ．∠１＝∠３＋∠４＋∠５ 分析：直接利用三角形外角的性质结合三角形中 线的定义得出答案． 解：Ａ．由三角形外角的性质可得∠１＞∠２＞∠３ ＞∠Ｃ，故此选项正确，不合题意；Ｂ．因为 ＡＤ为 ＢＣ边 上的中线，ＡＥ为ＢＤ边上的中线，ＡＦ为ＤＣ边上的中线， 所以ＢＥ＝ＥＤ＝ＤＦ＝ＦＣ，故此选项正确，不合题意； Ｃ．无法得出∠４＞∠５＞∠Ｃ，故此选项错误，符合题 意；Ｄ．因为∠１＝∠２＋∠４，∠２＝∠５＋∠３，所以∠１ ＝∠３＋∠４＋∠５，故此选项正确，不合题意．故选Ｃ． 三、“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和”的应用 例３　（２０２１泗洪二模）如图 ２，直线ａ∥ｂ，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，点Ｃ 在直线ａ上．若∠１＝５８°，∠２＝ ２４°，则∠Ａ的度数是 （　　） Ａ．５６°　　　　　　Ｂ．３４° Ｃ．３６° Ｄ．２４° 分析：先根据“两条直线平行，同位角相等”得出 ∠３＝∠１＝５８°，再根据“三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和”列式计算即可得解． 解：因为∠１＝５８°，ａ∥ｂ，所以∠３＝∠１＝５８°． 因为∠２＝２４°，∠Ａ＝∠３－∠２，所以∠Ａ＝５８°－２４° ＝３４°．故选Ｂ． 书 附加题　（１）①因 为ＢＤ⊥ＡＣ，ＥＦ⊥ＡＣ， 点Ｅ是直线ＢＣ上一点， 点Ｆ在直线ＡＣ上， 所以∠ＢＤＣ＝∠Ｆ ＝９０°． 所以ＢＤ∥ＥＦ． 所 以 ∠Ｅ ＝ ∠ＤＢＣ． 因 为 ∠ＤＢＣ ＝ ３６°， 所以∠Ｅ＝３６°． ②∠ＢＤＧ ＝ ∠Ｅ． 理由如下： 因 为 ∠ＡＧＤ ＝ ∠ＡＢＣ， 所以ＤＧ∥ＢＣ． 所 以 ∠ＢＤＧ ＝ ∠ＤＢＣ． 所 以 ∠ＢＤＧ ＝ ∠Ｅ． （２）∠ＢＤＧ＝∠Ｅ． 理由如下： 如图２． 因为 ＢＤ⊥ ＡＣ，ＥＦ ⊥ＡＣ，点 Ｅ是 ＣＢ延长 线上一点，点 Ｆ在直线 ＡＣ上， 所以∠ＢＤＣ＝∠Ｆ ＝９０°． 所以ＢＤ∥ＥＦ． 所 以 ∠Ｅ ＝ ∠ＤＢＣ． 因 为 ∠ＡＧＤ ＝ ∠ＡＢＣ， 所以ＤＧ∥ＢＣ． 所 以 ∠ＢＤＧ ＝ ∠ＤＢＣ． 所 以 ∠ＢＤＧ ＝ ∠Ｅ． 书 上期２版 ５．１定义与命题 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ａ； ４．如果一个点在坐标轴上，那么这个点至少有一 个坐标为０； ５．两个角的和等于平角，这两个角互为补角． ６．（１）假； （２）如果∠１＝∠２，∠Ｂ＝∠Ｄ，那么ＣＢ＝ＣＤ． 证明：因为 ∠１＝∠２，所以 ∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ．在 △ＡＢＣ和△ＡＤＣ中，因为∠Ｂ＝∠Ｄ，∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ， ＡＣ＝ＡＣ，所以△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（ＡＡＳ）．所以ＣＢ＝ＣＤ． ５．２为什么要证明 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ． ４．都是平行的．验证略． ５．３什么是几何证明 基础训练　１．已知；角平分线的定义；已知；角平 分线的定义；等量代换． ２．证明：因为 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，所以 ∠ＡＯＣ＝ ∠ＤＯＢ（对顶角的性质）．因为 ＯＥ，ＯＦ分别平分 ∠ＡＯＣ，∠ＤＯＢ， 所 以 ∠１ ＝ １２∠ＡＯＣ，∠２ ＝ １ ２∠ＤＯＢ（角平分线的定义）．所以 ∠１＝∠２（等量代 换）．因为 ∠ＡＯＦ＋∠２＝１８０°（平角的定义），所以 ∠ＡＯＦ＋∠１＝１８０°（等量代换）．所以ＯＥ，ＯＦ在同一 条直线上． ５．４平行线的性质定理与判定定理 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ； ３．同位角相等，两直线平行； ４．三边对应相等的三角形全等，真命题； ５．６２°． ６．ＣＤ∥ＡＢ．理由如下： 因为ＣＥ⊥ＣＤ，所以∠ＤＣＥ＝９０°．因为∠ＡＣＥ＝ １３６°，所以∠ＡＣＤ＝３６０°－∠ＤＣＥ－∠ＡＣＥ＝１３４°．因 为∠ＢＡＦ＝４６°，所以∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＢＡＦ＝１３４°． 所以∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＤ．所以ＣＤ∥ＡＢ． ７．证明：因为∠Ａ＝∠Ｃ＝１２０°，∠ＡＥＦ＝∠ＣＥＦ ＝６０°，所以 ∠Ａ＋∠ＡＥＦ＝１８０