上海市虹口区2021-2022学年高三上学期期末学生学习能力诊断测试数学试卷

虹口区 2021 学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学 试卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） 2021.12 一．填空题（1～6 题每题 4 分，7～12 题每题 5 分，本大题满分 54 分） 1. 已知集合  2{1,2,4}, log ,A B y y x x A   ∣ ，则 A B  2. 已知 2x   是方程 0 1 x a x  的解，则实数 a的值为 3. 已知 1 12, 1, , ,1, 2,3 2 2          ，若幂函数 ( )f x x 为奇函数，且在 (0, ) 上单调递减，则   4. 已知无穷等比数列 na 的前 n项的和为 nS ，首项 1 3a  ，公比为 q，且 lim 2nn S  ， 则 q  5. 圆 2 2 4sin 4cos 1 0x y x y        的半径等于 6. 在 101x x      的二项展开式中，常数项等于 . (结果用数值表示). 7. 已知角 , ,A B C 是 ABC 的三个内角，若 sin : sin : sin 4 : 5 : 6A B C  ，则该三角形的最大内角等 于 (用反三角函数值表示). 8. 已知 ( )f x 是定义域为 R 的奇函数，且对任意的 x满足 ( 2) ( )f x f x  ，若 0 1x  时， 有 ( ) 4 3xf x   ，则 (3.5)f  9. 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F ， ,A B 为此拋物线上的异于坐标原点O 的两 个不同的点，满足 12FA FB FO      ，且 0FA FB FO       ，则 p  10. 如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， P 为底面 ABCD 内（包括边界）的动点， 满足 1D P 与直线 1CC 所成角的大小为 6  , 则线段 DP 扫过的面积为 11. 已知实数 ,x y满足： 1x x y y  ，则 2x y  的取值范围是 12. 已知函数 ( ) cosf x x ，若对任意实数 1 2,x x ，方程    1 2( ) ( ) ( )f x f x f x f x m m R     有 解，方程    1 2( ) ( ) ( )f x f x f x f x n n R     也有解，则m n 的值的集合为 二．选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 13. 设 : 实数 x满足 3 0, 1 x x    ：实数 x满足 1 2x   ，那么 是  的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 设函数 ( ) sin cosf x a x b x  ，其中 0, 0a b  ，若 ( ) 4 f x f       对任意的 x R 恒成立，则 下列结论正确的是（ ） A. 2 6 f             B. ( )f x 的图像关于直线 3 4 x  对称 C. ( )f x 在 5, 4 4       上单调递增 D. 过点 ( , )a b 的直线与函数 ( )f x 的图像必有公共点 15. 设等差数列  na 的前 n 项和为 nS ，如果 1 9 2a a a    ，则（ ） A. 9 0S  且 10 0S  B. 9 0S  且 10 0S  C. 9 0S  且 10 0S  D. 9 0S  且 10 0S  16. 已知 ,a b R ，复数 2z a bi  (其中 i 为虚数单位) 满足 4z z  ，给出下列结论： ① 2 2a b 的取值范围是  1,4 ；② 2 2 2 2( 3) ( 3) 4a b a b      ； ③ 5b a  的取值范围是 ( , 1] [1, )   ；④ 2 2 1 1 a b  的最小值为 2； P 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三．解答题（本大题满分 76 分） 17．（本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，已知 14, 3, 4 2AC BC AA AB    ， (