专题03等差数列等比数列之测案（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

等差数列等比数列—测案 【满分：150分 时间：120分钟】 一、单项选择题（12*5=60分） 1.(2021·石室中学一诊)正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＋a8－a＋8＝0，则S9＝(　　) A.35 B.36 C.45 D.54 答案　B 解析　由等差数列的性质得a2＋a8＝2a5， ∴a2＋a8－a＋8＝0，可化为a－2a5－8＝0. 又a5>0，解得a5＝4. ∴S9＝＝9a5＝36. 2.在等比数列{an}中，a4＝，a5＝，则数列{lg an}的前8项和S8为(　　) A.4 B.2 C.3 D.5 答案　B 解析　因为{an}为等比数列，且a4＝，a5＝， 所以a4a5＝·＝. 则数列{lg an}的前8项和 S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg a1·a2·…·a8 ＝lg(a1·a8)(a2·a7)(a3·a6)(a4·a5) ＝lg()4＝4lg ＝2. 3.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案　B 解析　当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件. 4.(2021·日照校际联考)对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得ak<ak－1，ak<ak＋1，则称ak是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为(　　) A.2 B.7 C.2，7 D.2，3，7 答案　C 解析　因为an＝，所以a1＝2，a2＝，a3＝2，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，a8＝. 当n≥7，n∈N*时，n＋－8>0， 所以an＝＝n＋－8， 此时数列{an}递增，a2<a1，a2<a3，a7<a6，a7<a8， 所以数列{an}的“谷值点”为2，7. 5.(2021·湖北重点中学调研)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 021·a2 022>1，(a2 021－1)·(a2 022－1)<0，则下列结论中不正确的有(　　) A.q>1 B.S2 022>S2 021 C.a2 021·a2 023<1 D.T2 021是数列{Tn}中的最大项 答案　A 解析　由{an}为等比数列，a1>1，a2 021·a2 022>1及(a2 021－1)·(a2 022－1)<0， 得或(舍去). ∴公比q＝<1，则A错误. S2 022＝S2 021＋a2 022＝S2 021＋a1q2 021>S2 021，故B正确. 由等比数列性质知a2 021·a2 023＝a<1，所以C正确. 因为a1>1，a2>1，…，a2 021>1，a2 022<1，a2 023<1，…，所以(Tn)max＝T2 021，D正确. 6.已知数列{an}满足an＋2＋an＝2an＋1＋1，且a1＝1，a2＝5，则a18＝(　　) A.69 B.105 C.204 D.205 答案　D 解析　由an＋2＋an＝2an＋1＋1，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋1， 则(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝1， ∵a2－a1＝5－1＝4， ∴数列{an＋1－an}是以4为首项，1为公差的等差数列，an＋1－an＝4＋1×(n－1)＝n＋3， 则a1＝1，a2－a1＝4，a3－a2＝5，…，an－an－1＝n＋2， 各项相加，得 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝1＋4＋5＋…＋(n＋2)＝1＋ ＝＋1， ∴a18＝＋1＝205. 7.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 C　因为S3＝3a1＋d＝3×2＋d＝12，所以d＝2.所以a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.故选C. 8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝2，a5＝3a3，则S9＝(　　) A．－72 B．－54 C．54 D．90 B　设等差数列{an}的公差为d， ∵a1＝2，a5＝3a3， ∴2＋4d＝3(2＋2d)，解得d＝－2， ∴S9＝9a1＋d＝