解密04 函数的应用（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（全国通用）

解密04 函数的应用 考点热度 ★★☆☆☆ 内容索引 核心考点1 函数的零点 核心考点2 函数模型及其应用 高考考点 三年高考探源 预测 函数的零点 2017课标全国Ⅲ12 本节是高考的热点，主要考查：（1）利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间；（2）判断函数零点、方程根的个数；（3）根据零点（方程根）的情况求参数的取值范围；（4）函数模型及应用.一般出现在选择题和填空题的后两题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度较大. 函数模型及其应用 2020课标全国Ⅲ4 核心考点一 函数的零点 考法 函数的零点 变式一 函数零点（方程的根）所在区间的判断 1、（2011·全国·高考真题（文））在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数 在 上单调递增，由 ,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数 在 上连续单调递增，且 , 所以函数的零点在区间 内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. ☆技巧点拨☆ 确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与 轴的交点来确定. 变式二 函数零点个数的判断 2、（2019·全国·高考真题（文））函数 在 的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】令 ，得 或 ，再根据x的取值范围可求得零点. 【详解】由 ， 得 或 ， ， ． 在 的零点个数是3，故选B． 【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题． ☆技巧点拨☆ 函数零点个数的判断方法 （1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． （3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 变式三 函数零点的应用问题 3、（2021·天津·高考真题）设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 最多有2个根，可得 至少有4个根，分别讨论当 和 时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】 最多有2个根，所以 至少有4个根， 由 可得 ， 由 可得 ， （1） 时，当 时， 有4个零点，即 ； 当 ， 有5个零点，即 ； 当 ， 有6个零点，即 ； （2）当 时， ， ， 当 时， ， 无零点； 当 时， ， 有1个零点； 当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点； 所以若 时， 有1个零点. 综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足 或 或 ， 则可解得a的取值范围是 . 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成 和 两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． ☆技巧点拨☆ 高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略． 1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围 根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围 一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系 要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法： ①求出零点，直接比较大小； ②确定零点所在区间； ③