第24章：圆（简答题专练）-期末复习单元冲刺强化练习-2021-2022学年九年级数学人教版

第24章：圆（简答题专练） 1．如图，在△ABC中，已知AB＝AC． （1）尺规作图：画△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）． （2）连结OB，OC，若∠A＝45°，BC＝6，求扇形OBC的弧长． 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）作BC与AC边的垂直平分线，交于点O，点O就是△ABC的外心； （2）连结OB，OC，求得∠BOC＝90°，再由等腰直角三角形的性质得OB= ，最后由弧长计算公式可得结论. 【详解】（1）△ABC的外接圆⊙O如图所示， （2）连结OB，OC， ∵∠A＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∵BC＝6， ∴OB＝ , ∴扇形OBC的弧长＝ EMBED Equation.DSMT4 【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理以及弧长的计算． 2．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB， 的度数为70°． 求∠EOC的度数． 【答案】40° 【详解】试题分析：首先连接 ，由弧 的度数为 ,可求得 的度数，由 弦，即可求得 的度数，继而求得 的度数． 试题解析： 连接 , ∵ 的度数为 ， 3．如图， 的半径 ， 于点C， ．求 的长． 【答案】 的长是 【分析】根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可 【详解】解：∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ 的长是： ． 【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．如图，已知 ， 分别与 相切于点A，B，C为 上一点．若 ，求 的大小． 【答案】55° 【分析】连接OA、OB，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形的内角和即可求出∠AOB，最后利用圆周角定理即可求出结论． 【详解】解：连接OA、OB ∵ ， 分别与 相切于点A，B， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∵ ∴∠AOB=360°－∠OAP－∠OBP－∠P=110° ∴∠C= ∠AOB=55°． 【点评】此题考查的是切线的性质和圆周角定理，掌握切线的性质和圆周角定理是解题关键． 5．如图， 是 的外接圆， 切 于点 ， 与直径 的延长线相交于点 ． （Ⅰ）如图①，若 ，求 的大小； （Ⅱ）如图②，当 ， 时，求 的大小和 的半径． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ，半径为2 【分析】（Ⅰ）连接 ，根据圆周角定理求得 ，然后利用三角形外角和切线的性质求解； （Ⅱ）连接 ，设 ，根据圆周角定理及切线的性质列方程求解，然后再利用含30°的直角三角形性质求解圆的半径． 【详解】解：（Ⅰ）连接 ． ∵ 切 于点 ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （Ⅱ）连接 ，设 ． ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ． ∵ 是 的切线， ∴ ，即 ， 在 中， ， 即 ， 解得 ， ∴ ． 在 中， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 的半径为2． 【点评】本题考查圆周角定理及切线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 6．如图， 为 的直径， 是 上的一点，连接 ， ． 是 的中点，过 作 于点 ，交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 【答案】（1）见解析；（2） 的长度为 【分析】（1）延长 交 于点 ．由垂径定理可得点 是弧 的中点， ，由 是 的中点可得弧 弧 弧 ，所以弧 弧 ，由此结论可证； （2）连接 、 ．根据圆周角定理可得 ，根据等腰三角形的判定可得 ．在 中，根据勾股定理求得 ，由此求得 ；由勾股定理易求 ，则 ；设 ，根据勾股定理可得 ，解方程即可求得 的长度． 【详解】（1）证明：延长 交 于点 ． ∵ 是直径， ， ∴点 是弧 的中点， ， ∵ 是 的中点， ∴弧 弧 弧 ， ∴弧 弧 ， ∴ ． （2）连接 、 ． ∵弧 弧 ． ∴ ∴ ． 在 中， ， 由（1）知， ，则 ， ∵ ， ∴OD=5， 在 中， ， ∴ ， 设 ， 在 中， ∵ ， ∴ ， 解得 ， 即 的长度为 ． 【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及勾股定理，熟练运用相关定理是解决问题的关键． 7．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数． 【答案】54°． 【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题． 【详解】解：连接OD， ∵AB＝2DE＝2OD， ∴OD＝DE，又∠E＝18°， ∴∠DOE＝∠E＝18°， ∴∠ODC＝36°， 同理∠C＝∠ODC＝36° ∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝5