第2章 第1节 不等式性质与基本不等式（Word教用）-2022版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第一节　不等式性质与基本不等式 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b>0⇔a>b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b<0⇔a<b. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a>c. (3)可加性：a＞b⇒a＋c>b＋c； a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc， a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (5)可乘方：a＞b＞0⇒an>bn(n∈N，n≥1)． (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)． 3．基本不等式≥ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．　 4．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 三个重要的结论 (1)≥2. (2)＋≥2(ab>0)． (3)≤≤≤ (a>0，b>0)．　 考点一　比较大小与不等式的性质 已知a>b>0，m>0，则(　　) A．＝ B．> C．< D．与的大小关系不确定 【解析】　－＝＝. 因为a>b>0，m>0. 所以b－a<0，a＋m>0，所以<0. 即－<0.所以<. 【答案】　C (1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (2)若a＞0＞b＞－a，c<d<0，则下列结论：①ad＞bc；②＋<0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|； 当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|； 当b>0时，由a>b有|a|>|b|， 所以a>b⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C． (2)因为a＞0＞b，c<d<0， 所以ad<0，bc＞0， 所以ad<bc，故①错误． 因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0， 因为c<d<0，所以－c＞－d＞0， 所以a(－c)＞(－b)(－d)， 所以ac＋bd<0，所以＋＝<0，故②正确． 因为c<d，所以－c＞－d， 因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)， 即a－c＞b－d，故③正确． 因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C． 【答案】　(1)C　(2)C [针对训练] 1．如果a<b<0，那么下列不等式成立的是(　　) A．< B．ab<b2 C．ac2<bc2 D．a2>ab>b2 【答案】　D 2．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则> 【答案】　BC 3．(一题多解)(2021·石家庄质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a2<－ab　　　　　　　B．|a|<|b| C．> D．()a>()b 【解析】　选C．通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，a<b，所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C． 优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C． 考点二　基本不等式的实际应用 某国营企业集团公司现有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润10万元(a>0)，剩余的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数a的取值范围是多少？ 【解】　(1)由题意，得10(1 000－x)(1＋0.2x%)≥10×1 000， 整理得x2－500x≤0， 解得0≤x≤500， 又x>0，x∈N*所以0<x≤500，x∈N*，所以最多调整出500名员工从事第三产业． (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为