第1章 第2节 充要条件与量词（Word教用）-2022版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第二节　充要条件与量词 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp [注意]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 2．全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词。用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 存在量词命题 存在M中的元素x，使p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 (1)(2021·烟台模拟)已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“>”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2021·佛山模拟)已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　(1)若>，则－＝>0.当0<a<b时，>成立；当a>0，b<0时，满足>，但0<a<b不成立．故“b>a>0”是“>”的充分不必要条件，故选A． (2)当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C． 【答案】　(1)A　(2)C [针对训练] 1．(1)(2021·南昌模拟)若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)下列叙述中不正确的是(　　) A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0” B．若a，b，c∈R，则“ac2>bc2”的充要条件是“a>b” C．“a<0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件 D．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 【答案】　(1)B　(2)ABC 【名师点评】 充分必要条件的判断方法 利用定义判断 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么 从集合的角度判断 利用集合中包含思想判定，即可解决充分必要性的问题 利用等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 小积累：利用集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，则 ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的充分不必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤者A＝B，则p是q的充要条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 考点二　全称量词命题、存在量词命题 (1)(2021广东广州模拟)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0 D．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0 (2)(2021湖南长沙长郡中学模拟)已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋3<0，则命题p的否定是(　　) A．∃x∈R，x2＋2x＋3>0 B．∀x∈R，x2＋2x＋3≤0 C．∀x∈R，x2＋2x＋3≥0 D．∀x∈R，x2＋2x＋3>0 (3)(2021四川宜宾调研)下列命题是假命题的是(　　) A．∃x∈R，sin x－cos x＝ B．∃x∈R，cos x≥1 C．∀x∈(0，＋∞)，x－1≥ln x D．∀x∈，tan x>x 【解析】　(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，所以，命题“∀x∈(0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是“∃x∈[0，＋∞)，x2＋x<0”，故选C． (2)命题p为存在量词命题，其否定为∀x∈R，x2＋2x＋3≥0. (3)因为y＝sin x－cos x＝sin的值域为[－，]，所以A是假命题； 因为cos x∈[－1,1]，所以B是真命题； 令f(x)＝x－1－