专题09 二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题9二次函数与圆综合问题 解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有： 1. 直线与圆的位置关系： 平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有： （1） 利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题 （2） 利用勾股定理解决问题 （3） 利用相似列出比例式解决问题 2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟 3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”. 【例1】【例1】（2021•花都区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围． 【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式； （2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求； （3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得 ， 解得， ∴y＝﹣x2+x+2； （2）过点P作PH⊥BC交于点H， 设P（0，t），CH＝x， ∵C（0，2），B（4，0）， ∴BC＝2， ∴BH＝2﹣x， ∵∠OBP+∠OBC＝45°， ∴∠CBP＝45°， ∴HP＝BH＝2﹣x， 在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝， 在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝， ∴＝，＝， ∴x＝，t＝﹣， ∴P（0，﹣）， P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°， ∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）； （3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在C点处时，N点在E（2，0）处， ∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'， 当NA经过圆心O'时，NA有最大值和最小值， ∴O'（1，﹣2）， ∵A（﹣1，0）， ∴O'A＝2， ∴NA最大值为2+，NA最小值为2﹣， ∴2﹣≤NA≤2+． 【例2】（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径． 【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式； （2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH，tan60°，求出Q（，），把x代入yx2x+3，得y，则假设不成立； ②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT，tan60°，求出Q（，），把x代入yx2x+3，得y，则假设不成立； （3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式yx+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，x2x+3），M（x，x+3），则PDx2x+3，MDx+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，x2x+3），M（x，x+3），则PDx2x+3，MDx+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相