专题08 全等三角形常见模型（精讲精练）-2022年中考数学之三角形核心考点突破（课件+精讲精练）

专题08 全等三角形常见模型 一、解答题 1．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此线和的数量关系是______． （2）如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的关系，并说明理由． 【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析 【分析】 （1）先判断出∠DAB=∠EAC，进而判断出△DAB≌△EAC，即可得出结论； （2）先判断出△DAB≌△EAC，得出BD=CE，∠DBA=∠ECA，进而判断出∠DBC+∠ECB，即可得出结论． 【详解】 解：（1）∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE． ∴∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE， 故答案为：△AEC，BD=CE； （2）BD=CE且BD⊥CE； 理由如下：∵∠DAE=∠BAC=90°， ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE． ∴∠DAB=∠EAC． 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE，∠DBA=∠ECA， ∵∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°， ∴∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°， 即∠DBC+∠ECB=90°， ∴∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°， ∴BD⊥CE， 综上所述：BD=CE且BD⊥CE． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 2．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB＞AD），连接BD，CE，当点E落在AB边上，且D，E，C三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是　　　　，∠BDC的度数为　　　　． （2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，当点B，D，E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的关系，并说明理由． （3）如图3，已知△ABC，请画出图形：以AB，AC为边分别向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，交于点P，请直接写出线段BE和CD的数量关系及∠BPD的度数． 【答案】（1）△ACE，40°；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠BPD=60°． 【分析】 （1）利用全等三角形的判定定理可以证明，再根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出是解题的突破口； （2）通过∠BAC=∠DAE=90°及等量代换可得相等关系，再通过证明△DAB≌△EAC（SAS），通过等量代换推出∠DBC+∠ECB=90°即可间接证明垂直； （3）利用全等三角形的判定定理可以证明三角形全等得出BE=CD，通过等量代换求解可得∠BPD=60°． 【详解】 解：（1）由题意在△ABD和△ACE中， , ， ， ， ， ， ， ， 故答案是：△ACE，40°； （2）BD=CE且BD⊥CE； 理由：因为∠BAC=∠DAE=90°， 所以∠DAC+∠DAB=∠DAC+∠EAC． 所以∠DAB=∠EAC． 在△DAB和△EAC中， ， 所以△DAB≌△EAC（SAS）， 所以BD=CE，∠DBA=∠ECA， 因为∠DBA+∠EBC+∠ACB=90°， 所以∠ECA+∠EBC+∠ACB=90°， 即∠DBC+∠ECB=90°， 所以∠BEC=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=90°， 所以BD⊥CE， （3）BE=CD，∠BPD=60°，理由如下： 如图所示，为等边三角形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定及性质、三角形内角和定理、等边三角形的性质、解题的关键是掌握相关定理的同时，要灵活运用等量代换的思想进行解答． 3．阅读下列材料： 数学课上老师