椭圆的定义及基本性质-2022届高考数学一轮复习讲义

第8节 椭圆的定义及性质 【本节知识切片】 模块 题型拆分 难度 是否掌握 一． 椭圆的定义及方程 1. 椭圆的定义及基本方程 ★★☆☆☆ 2. 待定系数法求解方程 ★★★☆☆ 3. 离心率与定点的方程求解 ★★★☆☆ 4. 共焦点及共离心率方程求解 ★★★☆☆ 5. 轨迹方程的求解方法 ★★★☆☆ 6. 其它类型方程求解方法 ★★★☆☆ 二．椭圆性质的应用 1. 离心率的求解 ★★☆☆☆ 2. 椭圆中参量求解 ★★☆☆☆ 3. 椭圆中长度相关量求解 ★★☆☆☆ 4. 离心率范围的求解 ★★★☆☆ 5. 椭圆其它性质的应用 ★★★☆☆ 三. 椭圆中最值问题 1. 定义法解决最值问题 ★★★☆☆ 2. 代数法解决最值问题 ★★★☆☆ 3. 几何法解决最值问题 ★★★☆☆ 四. 焦点三角形基本结论 1. 周长问题结论应用 ★★★☆☆ 2. 面积问题结论应用 ★★★☆☆ 【本节考情分析】 年份/考查形式 期中 期末 高考 选择题 2 1 1 填空题 1 1 解答题 2 1 1 椭圆是圆锥曲线中难度相对较低，但高考中解答题考频最高的一个知识点，直线与椭圆的位置关系是重中之重，本部分重点学习椭圆的定义及基本性质和一些常用二级结论，可以很好的提升做题的准确率和效率；特别是椭圆的形成中，由圆圆位置关系得到的轨迹方程，是承前启后的一个结合点，需要尤其注意 【教材正文】 模块一． 椭圆定义及方程 【知识点】 1.定义:平面内与两个定点的距离的和等于常数1(大于)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距. 2. 在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证；如果这个常数等于两定点之间的距离,动点的轨迹将是线段；如果这个常数小于两定点之间的距离，动点的轨迹将不存在，因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件. 3、椭圆的标准方程： 当焦点在轴上，标准方程为： 当焦点在轴上，标准方程为： （2）两种椭圆，的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有;不同点是：两种椭圆的位置不同,它们的1焦点坐标也不同. （3）给出椭圆方程，判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是：椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大，这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法，可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. （4）共离心率的椭圆方程设法：或者 【题型一：椭圆定义及基本方程】 ★☆☆例题1 设，，动点 满足条件，则动点的轨迹是________ A 椭圆 B 线段 C 不存在 D 椭圆或线段 答案：D 解析：第一步：确定，以及 第二步：确定两个数据之间的关系，，所以点的轨迹是椭圆或线段，故选。 ★☆☆练习1 设点，动点满足条件，则当取什么范围时，的轨迹是椭圆？ 答案： 解析：，且的轨迹是椭圆， ★☆☆例题2 已知椭圆，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：椭圆长轴的长为6，即，得 两个焦点恰好将长轴三等分， ，得， 因此，，再结合椭圆焦点在轴上， 可得此椭圆方程为：． 故选：． ★☆☆练习1 中心在原点，焦点在轴上， 若长轴长为 ，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】长轴，长轴三等分后，故，故选 ★☆☆例题3 “”是“方程”表示焦点在轴上的椭圆”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C ★☆☆练习1 对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【题型二：待定系数法求解方程】 ★☆☆例题1. 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程． 【答案】． 解析：（2）由题意，不能知道焦点在哪个轴上，所以设椭圆的标准方程为 又经过两点、，故可得方程为 ，解得，故椭圆的方程为 ★☆☆练习1. 求焦点的坐标分别为,且过点的椭圆的方程． 【答案】 由题意可得，椭圆焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为，又焦点坐标为，所以，又因为椭圆过点，