等差数列和等比数列-2022届高考数学一轮复习讲义

9.1 等差及等比数列 【本节知识切片】 模块 题型拆分 难度 是否掌握 一.数列的概念 1.数列的概念和通项公式 ★★☆☆☆ 2.数列的单调性 ★★★☆☆ 二.等差数列及其前n项和 1. 利用等差数列概念求基本量 ★★☆☆☆ 2. 利用等差数列性质求基本量 ★★★★☆ 3. 求等差数列的前n项和 ★★★☆☆ 三.等比数列及其前n项和 1. 利用等比数列概念求基本量 ★★☆☆☆ 2. 利用等比数列性质求基本量 ★★★★☆ 3. 求等比数列的前n项和 ★★★☆☆ 【本节考情分析】 年份/考查形式 期中 期末 高考 选择题 1 填空题 1 1 解答题 1 1 考试中,考查形式多为选择填空题至少一道,大题必考一道,解答题常考数列的通项问题和求解前n项和问题,选择填空题中常考数列的公式以及性质运用,同时这也是考试中的易错题型。本部分从概念公式入手,重点讲解性质的运用,这一块需要重点练习,可以大大的提高做题的正确率和速度。 【教材正文】 模块一.数列的概念 【知识点】 1. 数列的概念 按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第项,…,所以,数列的一般形式可以写成:简记为. 1. 数列的分类 ①按照数列的项数的多少可分为:有限数列与无限数列.项数有限的数列叫有限数列,项数无限的数列叫无限数列. ②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为:递增数列、递减数列、常数列、摆动数列.从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项相等的数列叫做常数列;从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列. ③按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为:有界数列和无界数列. 3.数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 1. 数列的通项公式也就是相应的函数解析式. 1. 并非所有的数列都有通项公式. ③如果一个数列可以写出通项公式,它的形式可能不唯一,如数列:1,0,1,0,1,0,…它的通项公式可以是,也可以是. 1. 数列通项公式的作用:①求数列中任意一项, ②检验某数是否是该数列中的一项. 1. 递推公式 如果已知数列的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 1. 递推公式通过赋值可以逐项求出数列的项. 1. 递推公式反映了数列中项与项之间的关系. 1. 判断数列的单调性主要有三种方法: 1. 函数法:利用函数的单调性 1. 作差法:若有,则.即数列是递增数列,反之递减. 1. 作商法:若有且,则.即数列是递增数列,反之递减. 1. 数列的最大项或者最小项问题的处理主要有两种方法: ① 函数法:把通项看成关于的函数,利用函数单调性解决最值问题,但是要注意只能取正整数这一特点,所以它的函数图象就是一列孤立的点,不是一个连续的函数. ② 不等式法:利用,去解关于的不等式来确定数列的最大项或者,去解关于的不等式来确定数列的最小项. 【题型一:数列的概念和通项公式】 ★☆☆例题1. 观察数列前几项,写出下列数列的一个通项公式 ① ② ③ ④ 1. ⑥ ,… 答案:见解析. 解析:①或或. 1. 或; ③ ;④ ; 1. ;⑤;⑥ ★☆☆练习1. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有多少个点. 答案:见解析. 解析:图(1)只有1个点,无分支;图(2)除中间1个点外,有两个分支,每个分支有1个点;图(3)除中间1个点外,有三个分支,每个分支有2个点;图(4)除中间1个点外,有四个分支,每个分支有3个点;…;猜测第n个图中除中间一个点外,有n个分支,每个分支有(n-1)个点,故第n个图中点的个数为1+n(n-1)=n2-n+1. 【题型二:数列的单调性】 ★☆☆例题2.已知数列的通项公式是(),那么这个数列是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 答案: A 解析:因为,看作关于n的函数,这个函数单调递减,所以这个数列是递增数列. ★☆☆练习1.若,则与的大小关系是( ) A. B. C. D.不能确定 答案:B 解析:因为,看作关于n的函数,这个函数单调递减,所以这个数列是递增数列,所以. ★☆☆例题3.设,则数列中的最大项的值是( ) A. B. C. D. 答案:D 解析:可看作二次函数求最大值. ★☆☆练习1.(1)数列的通项公式是,,当取何值时,最小? (2)数列的通项公式是,,当取何值时,最小? 答案:(1)时,最小为1. 无最大值. (2)时,最小为.无最大值. 【